Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
,
, (4.8)
где
‑ угол между осью
и касательной
,
проведенной к линии пересечения
поверхности
с плоскостью
,
в точке
.
‑ угол между
осью
и касательной
,
проведенной к линии пересечения
поверхности
с плоскостью
,
в точке
;
(см. рис.4.2).
П
лоскость
‑ касательная плоскость к поверхности
,
прямая
‑ нормаль к поверхности
(см. рис.4.3).
, (4.9)
. (4.10)
Пример 1.
Используя определение частной
производной, найти частные производные
функции
.
Решение. 1. Находим
.
Воспользуемся
формулой
,
тогда
2. По формулам (4.4)
,
.
Ответ.
,
.
Пример 2. Найти частные производные функций по каждой из независимых переменных.
а)
.
Решение. 1.
Найдем
,
предполагая, что изменяется
,
а
остается
постоянной:
.
2. Найдем
,
предполагая, что изменяется
,
а
остается постоянной:
.
Ответ.
,
.
б)
.
Решение.
,
.
Ответ.
,
.
в)
.
Решение. 1.
Найдем
предполагая что изменяется
,
а
остается постоянной, тогда необходимо
воспользоваться формулой 2 таблицы
производных:
2. Найдем
предполагая что изменяется
,
а
остается постоянной, тогда необходимо
воспользоваться формулой 5 таблицы
производных:
Ответ.
,
г)
.
Решение. Функция
‑ функция четырех независимых
переменных. Эта функция будет иметь
четыре частных производных.
При постоянных
и
получаем:
При постоянных
и
получаем:
При постоянных
и
получаем:
При постоянных
и
получаем:
Ответ.
,
,
,
.
Пример 3. Найти частные производные сложных функций.
а)
,
где
,
.
Решение. Данная сложная функция двух переменных удовлетворяет условиям теоремы 2, поэтому её частные производные могут быть найдены по формулам (4.5).
Найдем
и
: 
,
.
Найдем
и
: 
,
.
Найдем
и
: 
,
.
По формулам (4.5)
получаем:
,
.
Ответ.
,
.
б)
,
где
.
Решение. Данная
сложная функция двух переменных
удовлетворяет условиям теоремы 3,
поэтому её производную
можно найти по формуле (4.6).
Найдем
и
: 
,
.
Найдем
и
: 
,
.
Тогда по формуле
(4.6):
.
Ответ.
.
в)
,
где
.
Решение. Данная
сложная функция двух переменных
удовлетворяет условиям следствия
теоремы 3, поэтому её производную
можно найти по формуле (4.7).
Найдем
и
:
,
.
Найдем
:
.
По формуле (4.7) получаем:
,
тогда
,
или 
.
Ответ.
.
Пример 4.
Найти уравнение касательной плоскости
и нормали к поверхности
в точке
.
Решение. 1)
Найдем
и
:
,
.
2) По формуле (4.9) касательная плоскость имеет уравнение:
;
или
.
По формуле (4.10) каноническое уравнение нормали к данной поверхности имеет вид:
или 
.
Ответ.
,
.