Задачи для самостоятельного решения

Найти и изобразить графически область определения функций.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13. Среди представленных функций, заданных аналитически, указать явные, неявные, параметрически заданные:

;

;

;

;

;

;

;

;

Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого числа найдется такой номер , что для всех номеров выполняется неравенство .

Иначе говоря, если , то все точки , начиная с , попадают в полосу, ограниченную прямыми и (см.рис.1.2).

Рассмотрим – функцию одной переменной, определенную в –окрестности точки .

Определение. Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого наперед заданного сколь угодно малого , найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Иначе говоря, если , то точки графика функции с абсциссами из – окрестности точки и соответствующими им ординатами из ‑окрестности точки должны лежать в полосе, ограниченной двумя прямыми и (см. рис.1.3).

Определение. Функция одной переменной называется бесконечно большой при , если для любого сколь угодно большего числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , т. е. .

Определение. Функция одной переменной называется бесконечно малой при , если , т. е. для любого сколь угодно малого найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , т.е. .

Бесконечно малые (большие) функции часто называют бесконечно малыми (большими) величинами, их обозначают обычно греческими буквами , и т. д. или .

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций

1. Если – бесконечно малая (большая) функция, где , то – бесконечно малая (большая) функция.

2. Если – бесконечно малая функция, а – ограничена, то – бесконечно малая функция.

3. Если и – бесконечно малые (большие) функции, то – бесконечно малая (большая) функция.

4. Если – бесконечно малая (большая) функция, а , то – бесконечно малая (большая) функция.

5. Если – бесконечно малая (большая) функция и , то – бесконечно малая (большая) функция.

6. Если функция – бесконечно малая (большая) функция, то есть бесконечно большая (малая) функция.

7. , где – бесконечно малая функция.

Правила, по которым находятся пределы функций, включают теоремы, справедливые для функции любого числа переменных при и при . Эти правила позволяют находить пределы в тех случаях, когда функции представляют собой результат арифметических действий над другими функциями, пределы которых существуют и заранее известны.