Основные свойства дифференциала
1.
,
где
2.
3.
4.
5.
Если приращения
аргументов
малы по абсолютной величине, то
.
Для функции
и
. (6.3)
Для функции
и
. (6.4)
Формулы (6.3) и (6.4) используются для вычисления приближенных значений функции одной и двух переменных соответственно.
Пример 1.
Сравнить приращение и дифференциал
функции
.
Решение. Найдем
или
.
Дифференциал
главная часть приращения функции
линейная относительно
,
т.е 
.
Легко заметить,
что
и абсолютная погрешность приближения
равна
.
Например, при
и
:
,
а
, 
.
Пример 2.
Найти дифференциал функции
в точке
двумя способами: 1) выделяя главную
линейную относительную
часть приращения функции
;
2) по формуле (6.1).
Решение.
1)
,
отсюда
;
2) по формуле (6.1):
.
Следовательно,
получаем 
.
Ответ.
.
Пример 3.
Найти значение полного дифференциала
функции
,
при
,
.
Решение.
1) Найдем частные
производные
:
,
;
2) По формуле
(6.2) 
.
Ответ.
.
Пример 4.
Найти дифференциал функции
.
Решение.
По формуле (6.1) 
.
Ответ.
.
Пример 5.
Найти
,
если
.
Решение. Найдем
и
.
,
.
Следовательно,
по формуле (6.2)
.
Ответ.
.
Пример 6.
Вычислить приближенно
.
Решение. Будем
исходить из значения функции
при
.
Значение
.
Найдем
и
:
;
.
Найдем значения
частных производных в точке
:
.
По формуле (6.4) при
,
получаем:
.
Ответ.
.
Пример 7.
Зная что
,
вычислить
.
Решение. Будем
исходить из функции
при
.
Находим
.
Следовательно, по формуле (6.3) при
,
получаем
.
Ответ.
.
Пример 8.
Выяснить какой путь пройдет тело при
свободном падении на Луне за
от начала падения. Уравнение свободного
падения тела:
,
.
Решение.
Требуется найти
.
Воспользуемся формулой
,
тогда
(см. (6.3)). При
и
,
,
находим
.
Ответ.
.
Задачи для самостоятельного решения
6.1. Сравнить
приращение и дифференциал функции
.
6.2. Найти графически
приращение и дифференциал функции
при
.
6.3. Найти значение
полного дифференциала функции
при
.
6.4. Найти значение
полного дифференциала функции
при
.
Найти дифференциал следующих функций:
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
Найти приближенные значения следующих выражений:
6.15.
6.16.
6.17.
6.18.
6.19
6.20.
6.21.
6.22. Тело массой
движется со скоростью
.
Вычислить приближенно кинетическую
энергию тела
.
Производные, как
и частные производные, в свою очередь
являются функциями своих независимых
переменных. Частные производные от
этих функций называются частными
производными второго порядка,
а от функции
– производной
второго порядка
и обозначаются:
1. Для функции
:
или
,
.
2.Для функции
, 
,
, 
.
Аналогично
определяются производные и частные
производные третьего и высшего порядков,
например,
или
и
или
,
или
,
и т.д.
Частная производная
второго и более высокого порядка, взятая
по различным переменным, называется
смешанной
частной производной.
Таковыми являются, например
.
Теорема. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
В частности, для
имеем
.
Если функция задана неявно, то производные высших порядков (начиная со второго) удобнее находить способом I (см. п.5). Дифференцируя полученные результаты необходимое число раз и подставляя последовательно значения производных, придем к уравнению(ям), из которого(ых) производная (или частные производные) соответствующего порядка выразятся через переменные, входящие в начальное уравнение.
Если функция
задана параметрически
и
,
то производные высших порядков находятся
по формулам:
,
,
и т.д.
Пример 9.
.
Найти
.
Решение. Находим:
,
,
.
Ответ.
.
Пример 10.
.
Найти
.
Решение. Имеем
,
,
,
…..................
.
Ответ.
Пример 11.
.
Найти
,
,
.
Решение.
Найдем
и
,
имеем
,
.
Теперь дифференцируем повторно
,
,
.
Ответ.
,
,
.
Пример 12.
.
Найти
.
Решение.
Последовательно находим:
,
,
.
Ответ.
.
Пример 13. Для неявно заданной функции найти производную или частные производные второго порядка.
а)
‑ неявно заданная функция одной
переменной.
Решение.
Для нахождения производной первого
порядка воспользуемся способом
II
(см. п.5).
,
,
тогда
или
.
Теперь продифференцируем полученное равенство, используя способ I (см.п.5)
Ответ.
.
б)
‑
неявно заданная функция двух переменных.
Решение. Имеем
,
,
,
тогда
,
.
Теперь находим частные производные второго порядка:
;
;
.
Ответ.
,
,
.
Пример 14.
.
Найти
и
.
Решение. Имеем
,
.
Ответ.
,
.