- •Дифференциальное исчисление
- •Содержание
- •Введение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •Теоремы о пределах (правила предельного перехода)
- •Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства эквивалентных бесконечно малых функций
- •Важнейшие эквивалентности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Практическое занятие по теме: Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Практическое занятие по теме: вычисление производной функции одной переменной. Таблица производных. Нахождение частных производных. Производная сложной функции
- •Правила дифференцирования результатов арифметических действий над функциями
- •Геометрический смысл производной функции одной переменной
- •Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Практическое занятие по теме: производная неявной функции однОй и нескольких переменных. Производная функции, заданной параметрически. Логарифмическое дифференцирование
- •Производная неявно заданной функции.
- •Производная функции, заданной параметрически.
- •Логарифмическое дифференцирование.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Практическое занятие по теме: Дифференциал функции одной и нескольких переменных, применение дифференциалов в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Основные свойства дифференциала
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7. Практическое занятие по теме: Правило Лопиталя
- •1.Неопределенность
- •2.Неопределенность .
- •3.Неопределенности , , .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Практическое занятие по теме: Общая схема исследования функции и построение графика
- •Алгоритм исследования функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВНИЯ
«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ ФУНДАМЕНТАЛЬОЙ ПОДГОТОВКИ
Ю.А. ТЕРЕЩЕНКО, В. А. ИГНАТОВА
Дифференциальное исчисление
Учебное пособие
к практическим занятиям
Красноярск 2008
Содержание
ВВЕДЕНИЕ 4
ФУНКЦИЯ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ 5
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН 16
Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация 27
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 31
ПРОИЗВОДНАЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ ОДНОй И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 43
Дифференциал функции одной и нескольких переменных, применение дифференциалов в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков 50
Правило Лопиталя 61
Общая схема исследования функции и построение графика 65
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 74
Введение
Математический анализ – большая область математики, связанная с понятием функции, производной и интеграла. Аппарат математического анализа используется в других областях математики, таких как дифференциальные уравнения, функции комплексного переменного, дифференциальная геометрия, вариационное исчисление и т.д. Таким образом, математический анализ – один из курсов, составляющий фундамент математического образования инженера любого профиля.
Один из основных разделов математического анализа – дифференциальное исчисление, центральным понятием которого является понятие производной. Производная широко применяется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости различных процессов. Основные теоремы дифференциального исчисления позволяют построить мощный аппарат для исследования поведения функции.
В данном учебном пособии сначала рассматриваются практические занятия по темам, с которых традиционно начинают знакомство с математическим анализом, а именно: понятие функции, способы ее задания и свойства, предел функции, раскрытие неопределенностей, непрерывность функции, точки разрыва. Далее в пособии представлены практические занятия по разделу «Дифференциальное исчисление», в которых раскрываются понятия и геометрический смысл производной функции одной переменной и частных производных функции двух переменных, проиллюстрированы правила дифференцирования основных элементарных функций, способы нахождения производных функций, заданных различными способами; подробно описаны методы исследования поведения функции одной переменной, в частности алгоритмы нахождения точек экстремума, точек перегиба, асимптот.
В начале каждой темы кратко излагаются основные теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), необходимые для решения последующих задач. Затем приводится достаточно большое количество примеров с подробными решениями, даются задачи и упражнения для самостоятельной работы. При подборе задач и примеров были использованы различные сборники задач по высшей математике, представленные в библиографическом списке.
Более подробно с теоретическим материалом по всем темам практических занятий можно познакомиться в конспекте лекций по разделу «Дифференциальное исчисление» тех же авторов, поскольку конспект лекций и учебное пособие для практических занятий по этому разделу образуют единый учебно – методический комплекс.
Данное учебное пособие может быть использовано как под руководством преподавателя на занятии, так и для самостоятельного изучения материала.
1. Практическое занятие по теме:
ФУНКЦИЯ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Пусть даны и – переменные величины, и – области изменения этих величин.
Определение. Если каждому значению величины по некоторому закону соответствует единственное значение величины , то говорят, что задана функция , или что величины и связаны между собой функциональной зависимостью. При этом, – аргумент функции (независимая переменная), – значение функции (зависимая переменная), – закон соответствия, – функция одной независимой переменной.
Множество называется областью определения функции и обозначается . Множество называется областью значений функции и обозначается .
Для функции одной переменной областью определения является интервал координатной оси или вся координатная ось.
Определение. Если областью существования функции служит множество натуральных чисел , то функцию называют последовательностью и обозначают , , и т. д.
Пусть даны и – переменные величины, – область изменения пар чисел , а – область изменения .
Определение. Если каждой паре чисел по некоторому закону соответствует единственное значение величины , то говорят, что задана функция . При этом – аргументы функции (независимые переменные), – значение функции (зависимая переменная), – закон соответствия, – функция двух независимых переменных, – область определения функции, – область значений функции.
Для функции двух переменных область определения является часть координатной плоскости или вся координатная плоскость.
Определение. Если каждой совокупности переменных величин по некоторому закону соответствует единственное значение , то говорят, что задана функция – функция независимых переменных.
Для функции трех переменных область определения функции геометрически представляется в виде части трехмерного пространства.
Для функции переменных, при , область определения невозможно представить геометрически.
Наиболее распространены следующие способы задания функции: аналитический, графический и табличный. Подробно рассмотрим аналитический способ задания, который состоит в том, что дается формула, с помощью которой по значениям независимой переменной (независимых переменных) можно получить соответствующие им значения функции.
Функция, заданная аналитическим способом может быть задана: явно, неявно и параметрически.
Функция называется явно заданной, если она задана уравнением , разрешенным относительно зависимой переменной (зависимой переменной ).
Функция называется неявно заданной, если она задана уравнением – для функции одной переменной ( – для функции двух переменных), не разрешенным относительно зависимой переменной (зависимой переменной ).
Аналогично определяется неявно заданная функция независимых переменных вида , где .
Функция называется параметрически заданной, если сама функция и её аргумент (аргументы) заданы аналитическими выражениями, зависящими от одного и того же параметра :
– функция одной переменной; – функция двух переменных.
Пример 1. Найти и изобразить графически область определения функций.
а) .
Решение. Функция имеет смысл, если
Найдем решение каждого неравенства в отдельности:
1) . Решим неравенство методом интервалов.
:
т .е. .
2) , .
3) , .
Нанесем все полученные интервалы на ось . Их пересечение – и есть решение системы неравенств.
Т аким образом
Ответ.
б) .
Решение. . Значит, областью определения является часть плоскости , координаты точек которой, удовлетворяют неравенству , т.е. часть плоскости , расположенная внутри параболы . Так как точки параболы не удовлетворяют неравенству, то она изображается пунктирной линией (см. рис.1.1).