Свойства эквивалентных бесконечно малых функций
Предел отношения
двух бесконечно малых функций не
изменится, если каждую или одну из них
заменить эквивалентной ей бесконечно
малой:
,
где
,
.
Разность двух
эквивалентных бесконечно малых функций
есть бесконечно малая более высокого
порядка, чем каждая из них.
Сумма конечного
числа бесконечно малых функций разных
порядков эквивалентна слагаемому
низшего порядка.
Для раскрытия
неопределенностей вида
часто бывает полезным применять принцип
замены бесконечно малых эквивалентными
и другие свойства эквивалентных
бесконечно малых функций.
Важнейшие эквивалентности
при
|
1.
|
6.
|
|
2.
|
7.
|
|
3.
|
8.
|
|
4.
|
9.
|
|
5.
|
10.
в
частности,
|
Пример 9.
Сравнить бесконечно малые
и
(
).
Решение. Найдем
.
Используя важнейшие эквивалентности,
при
имеем
,
.
Поэтому
.
Значит
бесконечно малая более высокого порядка
малости.
Пример 10.
Сравнить бесконечно малые
и
(
).
Решение. Найдем
.
Значит
и
одного порядка малости, более того, они
эквивалентны, т.е
.
Пример 11.
Определить порядок относительно
функции
бесконечно
малой при
.
а)
.
Решение. Требуется
найти число
такое, чтобы
.
Имеем
.
При
,
что не подходит,
при
,
т.е.
при
.
Итак,
и
,
при
.
б)
.
Решение. Требуется
найти число
такое, чтобы
.
Используя важнейшие
эквивалентности, при
имеем
.
Поэтому
,
а
Т.е. при
.
Итак,
и функция
‑ бесконечно малая третьего порядка
малости относительно бесконечно малой
при
.
Пример 12. С помощью замены эквивалентных найти пределы.
а)
.
Решение. Используя
важнейшие эквивалентности, при
имеем
,
.
Поэтому
.
Ответ.
.
б)
.
Решение. Перейдем
к новой переменной
,
тогда
и
при
,
.
Получаем
.
Преобразуем выражение, стоящее в
числителе:
.
Используя важнейшие
эквивалентности, имеем при
.
Поэтому
.
Ответ.
.
в)
.
Решение. Преобразуем выражение, стоящее в числителе:
.
Тогда
.
Используя важнейшие
эквивалентности, имеем при
,
,
.
Поэтому
.
Ответ.
.
г)
.
Решение. Преобразуем выражение, стоящее в скобках:
.
При
,
тогда, используя важнейшие эквивалентности,
имеем при
.
Поэтому
.
Ответ.
.
Задачи для самостоятельного решения
2.27. Убедиться, что
при
и
одного порядка малости. Будут ли они
эквивалентными?
2.28. Сравнить
бесконечно малые
и
(
).
2.29. Сравнить
бесконечно малые
и
(
).
2.30. Определить
порядок относительно
функции, бесконечно малой при
:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
С помощью замены эквивалентных найти пределы.
2.31.
2.32.
2.33.
2.34.
2.35.
2.36.
2.37.
2.38.
2.39.
2.40.
2.41.
2.42.
2.43.
2.44.
2.45.
