Число е.

Определение. Числом е называется предел последовательности x_n=, т.е.

е=

1. Покажем, что последовательность - строго возрастающая.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Числа , являющиеся коэффициентами в формуле бинома Ньютона, называются биномиальными коэффициентами.

Применяя эту формулу n-й член последовательности можно представить в виде:

х_n=

или

х_n=

(1)

Аналогично для х_n+1 члена последовательности:

х_n+1=

(2)

Правая часть соотношения (1) содержит n слагаемых, а правая часть соотношения (2) – (n+1) слагаемых.

Сравнивая х_n и х_n+1, замечаем, что первые слагаемее в правых частях соотношений (1) и (2) одинаковы, 2-е, 3-е,…,n-е слагаемое у х_n+1 больше, чем у х_n, т.к.

; ; ….;

Кроме того, в составе х_n+1 есть еще (n+1)-е слагаемое, которого в составе х_n нет и которое является положительным. Следовательно, х_n<х_n+1 , значит х_n - возрастающая.

2. Покажем, что х_n ограничена сверху. Для этого воспользуемся соотношением (1). Заменим все разности, стоящие в скобках в правой части этой формулы, на единицы, отчего правая часть увеличится (т.к. каждая разность меньше 1). Получим

х_n<2+++…++…+

Т.к. =, <,…,<,…,<

Поэтому, х_n<2+++…++…+

Т.к. ++…++…+<++…++…++…=1,

То получаем, что х_n<2+1=3 , т.е. х_n ограничена сверху.

Из (1) видно, что х_n2, следовательно 2х_n<3 .

Т.к. х_n монотонна и ограничена сверху, то существует конечный , величина которого заключена между 2 и 3. Этот предел обозначается буквой е.

Натуральный логарифм.

Предел подпоследовательности сходящейся последовательности.

Определение. Пусть x₁,x₂,…,x_n,… (1)

Некоторая числовая последовательность. Рассмотрим произвольную, возрастающую последовательность натуральных чисел {n_k}: n₁<n₂<…

Построим новую последовательность : .

- подпоследовательность {x_n}

Пример. x_n=n : 1,2,3,..

Подпоследовательности: 2,4,6,8,… и 1,3,5,…

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то любая ее подпоследовательность сходится и имеет тот же предел.

Доказательство. Пусть x_n→а, n→, возьмем >0, ему отвечает номер N такой, что .(*)

Пусть - подпоследовательность. Покажем, что →а при k→.

Найдем такой номер , что >N, тогда, если k>k₀, то n_k>N, поэтому из (*) следует, что , т.е. =а. ч.т.д.

Теорема 2 (теорема Больцано-Вейерштрасса). Из каждой ограниченной числовой последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть {x_n}-ограниченная, тогда существуют конечные числа а₀ и b₀ такие, что nN  а₀x_nb₀, т.е. nN x_n[а₀;b₀].

Разделим промежуток [а₀;b₀] пополам. Хотя бы в одной половине этого промежутка будет содержаться бесконечное множество элементов последовательности {x_n} (т.к. иначе во всем промежутке [а₀;b₀] их было бы конечное число). Обозначим эту половину через [а₁;b₁]. (Если обе половины промежутка [а₀;b₀] содержат бесконечное множество элементов последовательности {x_n}, то через [а₁;b₁] обозначим одну и только одну из них.) b₁-а₁= и а₀а₁<b₁b₀.

Промежуток [а₁;b₁] так же делим пополам и берем ту его половину, которая содержит бесконечное множество элементов последовательности {x_n}. Обозначим эту половину через [а₂;b₂]. b₂-а₂= и а₀а₁a₂<b₂b₁b₀.

Продолжая этот процесс, получим две бесконечные последовательности:

a₀,a₁,…,a_k,…(a₀a₁…a_k…) (1)

b₀,b₁,…,b_k,…(b₀b₁…b_k…) (2)

b_k-а_k= , k=1,2,…

Последовательность (1) – неубывающая и ограниченная сверху, например числом b₀; последовательность (2) невозрастающая и ограничена снизу, например числом а₀. Значит обе эти последовательности имеют конечные пределы.

Пусть =с. Имеем b_k-а_k= b_k=а_k+. Т.к. =0, то, переходя в равенстве b_k=а_k+ к пределу, получаем:

=+=с+0=с.

Т.о. последовательности (1) и (2) имеют один и тот же конечный предел с. Покажем, что из последовательности {x_n} можно выделить подпоследовательность : такую, что =с

Из элементов последовательности {x_n}, попавших в промежуток [а₁;b₁], возьмем какой-нибудь один, обозначим его Т.к. элементами х₁,х₂,…, не исчерпывается множество всех элементов последовательности {x_n}, которые попали в промежуток [а₂;b₂], то в [а₂;b₂] имеются x_n такие, у которых номер n>n₁. Возьмем один из них. Пусть это будет [а₂;b₂], причем n₂>n₁.

Аналогичным образом можно найти [а₃;b₃] и n₃>n₂. Продолжая этот процесс, придем к последовательности ,,,…,,… такой, что n₁<n₂<…<n_k<… и k [а_k;b_k]. Эта последовательность будет требуемой, т.к. k:

a_kb_k, а ==с.

Следовательно, по теореме о пределе промежуточной последовательности, =с. Ч.т.д.

Пусть {x_n}-ограниченная т.е.

1) Рассмотрим случай, когда множество значений последовательности {x_n} конечно: {a₁,a₂,…,a_k}.

В этом случае существует постоянная подпоследовательность :, k=1,2,… и имеет предел.

2) Множество значений последовательности {x_n}бесконечно.

М={Множество значений последовательности {x_n}} – бесконечно и ограничено (т.к. {x_n}-ограниченная).

Согласно «лемме о предельной точке», множество М содержит хотя бы одну предельную точку – точку а.

В окрестности точки а бесконечно много элементов множества М.

Выберем из этой окрестности элемент ≠a.

Уменьшим окрестность так, чтобы в нее не попал элемент и чтобы длина окрестности была не больше 1.

Выберем элемент ≠a из новой окрестности так, чтобы n₂>n₁.

Уменьшим окрестность так, чтобы в нее не попал элемент и чтобы длина окрестности была не больше .

Выберем элемент ≠a из новой окрестности так, чтобы n₃>n₂. И так до бесконечности. В результате получим подпоследовательность →а, k→ (Т.к. получили, что ч.т.д.

Определение. Пусть дана последовательность {x_n}. Предел ее подпоследовательности называется частичным пределом данной последовательности.

Примеры. 1) Последовательность x_n=n не имеет частичных пределов.

2) последовательность 1,0,1,0,… имеет 2 частичных предела 1 и 0.

Пусть дана последовательность {x_n}. А={множество всех частичных пределов}.

Рассмотрим случай, когда множество А ограничено и сверху, и снизу. Тогда существуют минимальный и максимальный элементы множества А: min A= и max A=.

Определение. Наибольший из всех частичных пределов последовательности {x_n} называется верхним пределом последовательности.

Наименьший – нижним пределом.

Обозначения: = - нижний предел, = - верхний предел.

Теорема 4. Для любого числа >0 N=N(): n>N все элементы последовательности {x_n} входят в интервал (-,+).

Доказательство. Т.к. является точной нижней границей множества {x_n}, то >0 х<+ и х{x_n}. Это означает, что справа от элемента х, а стало быть и справа от интервала (-,+) может лежать лишь конечное число элементов последовательности {x_n}. Аналогично доказывается, что и слева от интервала (-,+) может лежать лишь конечное число элементов последовательности {x_n}.

Теорема 5. Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы ее верхний и нижний пределы совпадали.

Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность {x_n} сходится, тогда она ограничена и имеет единственный предел. Следовательно, ===

Достаточность. Пусть ==х. Тогда по теореме 4 интервал (-,+) совпадает с -окрестностью точки х, т.е. >0 N=N(): n>N все элементы последовательности {x_n} входят в окрестность (х-,х+)., а это и означает, что х – предел последовательности. Ч.т.д.