Филатов_Отчет5_Системный_Анализ

Федеральное агентство по образованию

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет технической кибернетики

Кафедра компьютерных систем и программных технологий

ОТЧЕТ

по расчетному заданию №5

по системному анализу

Вариант 18

Студент гр.3081/2: Филатов Ю.К.

Преподаватель: Сабонис С.С.

Санкт-Петербург

2011

1. Решить задачу коммивояжера методом ветвей и границ в соответствии с матрицей по вариантам.

2. Решить задачу коммивояжера с использованием жадных алгоритмов и алгоритмов локальных улучшений

1. Метод ветвей и границ

i j	1	2	3	4	5	6
1	∞	9	8	49	47	13
2	7	∞	15	40	46	22
3	8	12	∞	55	39	7
4	35	29	40	∞	49	62
5	37	34	35	39	∞	37
6	12	17	5	44	36	∞

Для определения нижней границы множества воспользуемся операцией редукции или приведения матрицы по строкам, для чего необходимо в каждой строке матрицы D найти минимальный элемент.

d_i = min(j) d_ij

i j	1	2	3	4	5	6	min
1	∞	9	8	49	47	13	8
2	7	∞	15	40	46	22	7
3	8	12	∞	55	39	7	7
4	35	29	40	∞	49	62	29
5	37	34	35	39	∞	37	34
6	12	17	5	44	36	∞	5

Затем вычитаем d_i из элементов рассматриваемой строки. В связи с этим во вновь полученной матрице в каждой строке будет как минимум один ноль. Такую же операцию редукции проводим по столбцам, для чего в каждом столбце находим минимальный элемент:

d_j = min(i) d_ij

di = min(j) dij
i j	1	2	3	4	5	6
1	#ЗНАЧ!	1	0	41	39	5
2	0	#ЗНАЧ!	8	33	39	15
3	1	5	#ЗНАЧ!	48	32	0
4	6	0	11	#ЗНАЧ!	20	33
5	3	0	1	5	#ЗНАЧ!	3
6	7	12	0	39	31	#ЗНАЧ!
min	0	0	0	5	20	0

После вычитания минимальных элементов получаем полностью редуцированную матрицу, где величины d_i и d_j называются константами приведения.

i j	1	2	3	4	5	6
1	ура	1	0	36	19	5
2	0	ура	8	28	19	15
3	1	5	ура	43	12	0
4	6	0	11	ура	0	33
5	3	0	1	0	ура	3
6	7	12	0	34	11	ура

Сумма констант приведения определяет нижнюю границу H:

H = ∑d_i + ∑d_j

H = X+X+X= 115

Элементы матрицы d_ij соответствуют расстоянию от пункта i до пункта j.

Поскольку в матрице n городов, то D является матрицей nxn с неотрицательными элементами d_ij >=0

Каждый допустимый маршрут представляет собой цикл, по которому коммивояжер посещает город только один раз и возвращается в исходный город.

Длина маршрута определяется выражением:

F(M_k) = ∑d_ij

Причем каждая строка и столбец входят в маршрут только один раз с элементом d_ij .

Шаг №1

Определяем ребро ветвления и разобьем все множество маршрутов относительно этого ребра на два подмножества (i,j) и (i*,j*).

С этой целью для всех клеток матрицы с нулевыми элементами заменяем поочередно нули на ∞ и определяем для них сумму образовавшихся констант приведения.

i j	1	2	3	4	5	6
1			1
2	9
3						4
4		0			11
5		0		28
6			7

Наибольшая сумма констант приведения равна 2 8 для ребра (5,4), следовательно, множество разбивается на два подмножества 45) и (5*,4*).

Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества:

H(5*,5*) = 115+28=143

Исключение ребра ребра (5,4) проводится путем исключения всех элементов 5-ой строки и 4-го столбца, в которой элемент d₅₄ заменяем на ∞, для исключения образования негамильтонова цикла.

В результате получим другую сокращенную матрицу (5 x 5), которая подлежит операции приведения.

i j	1	2	3	5	6
1	ура	1	0	19	5	0
2	0	ура	8	19	15	0
3	1	5	ура	12	0	0
4	6	0	11	ура	33	0
6	7	12	0	11	ура	0
	0	0	0	11	0

i j	1	2	3	5	6
1	ура	1	0	8	5
2	0	ура	8	8	15
3	1	5	ура	1	0
4	6	0	11	ура	33
6	7	12	0	0	ура

Нижняя граница подмножества (5,4) равна:

H(5,4) =115+11 = 126

(5,4)

(*5,*4)

Шаг №2

Определяем ребро ветвления и разобьем все множество маршрутов относительно этого ребра на два подмножества (i,j) и (i*,j*).

С этой целью для всех клеток матрицы с нулевыми элементами заменяем поочередно нули на ∞ и определяем для них сумму образовавшихся констант приведения.

i j	1	2	3	5	6
1	ура	1	0	8	5
2	0	ура	8	8	15
3	1	5	ура	1	0
4	6	0	11	ура	33
6	7	12	0	0	ура

i j	1	2	3	5	6
1			1
2	9
3					6
4		7
6			0	1