Обратная функция

Обратная функция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Функция  является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

• f(g(y)) = y для всех 

• g(f(x)) = x для всех 

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение x = F(y) относительно y. Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к F не существует. Таким образом, функция f(x) обратима на интервале (a; b) тогда и только тогда, когда на этом интервале она инъективна.

Для непрерывной функции F(y) выразить y из уравнения x − F(y) = 0 возможно в том и только том случае, когда функция F(y) монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её монотонности. Например,  является обратной функцией к x² на , хотя на промежутке  обратная функция другая: .

Примеры

• Если , где a > 0, то F ^{− 1}(x) = log _ax.

• Если , где  фиксированные постоянные и , то 

• Если , то 

• Областью определения F ^{− 1} является множество Y, а областью значений множество X.

• По построению имеем:

или

,

,

или короче

,

,

где  означает композицию функций, а id_X,id_Y — тождественные отображения на X и Y соответственно.

• Функция F является обратной к F ^{− 1}:

.

• Пусть  — биекция. Пусть  её обратная функция. Тогда графики функций y = F(x) и y = F ⁻ (x) симметричны относительно прямой y = x.

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

где коэффициенты A_k задаются рекурсивной формулой:

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции это математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

• арксинус (обозначение: arcsin)

• арккосинус (обозначение: arccos)

• арктангенс (обозначение: arctg)

• арккотангенс (обозначение: arcctg)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк». Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. 

Функция y = arcsin x

Дана функция  y = sin x.  На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие  y = arcsin x функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений —  −2;2 . Так как для функции  y = sin x  на интервале −2;2 каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция  y = arcsin x, график которой симметричен графику функции  y = sin x на отрезке −2;2 относительно прямой y = x.