Функция косинус

Область определения функции — множество R всех действительных чисел. Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная. Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно оси OY. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: cos(x+2π·k) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R. cos x = 0 при cos x > 0 для всех cos x < 0 для всех Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

Показательная функция

 Функция вида   y = a^x, в которой  a - положительное (постоянное) число, называют показательной функцией. Аргумент  x принимает любые действительные значения;  значениями функции обычно рассматривают только положительные числа, потому что иначе мы получаем многозначную функцию. Например, функция  y = 81^x имеет при  x = 1/4 четыре различных значения:  y = 3,  y = -3,  y = 3 i  и  y = -3 i. (Корень 4ой степени из 81, где i² = -1) Так как значениями функции обычно рассматривают только положительные числа, рассматриваем в качестве значения только  y = 3. Графики показательной функции для  a = 2  и  a = 1/2  представлены на рис.17. Они проходят через точку  ( 0, 1 ). При  a = 1 мы имеем график прямой линии,параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При  a > 1 показательная функция возрастает, a при  0 < a < 1 – убывает.  

Основные характеристики и свойства показательной функции:

- область определения функции: - бесконечночть < x < + бесконечночть   ( т.e. x  R );

 

   область значений:  y > 0 ;

   - функция монотонна: возрастает при  a > 1 и убывает при  0 < a < 1;

   - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

   - нулей функция не имеет.

Логарифмическая функция и её свойства.

y=3^x

y=log₃x

y=x

а) Графики функций y=log₃x и y=3^x симметричны друг другу относительно прямой y=x.

График y=3^x пересекает ось ординат в точке А (0;1).

График y=log₃x пересекает ось абсцисс в точке В (1;0).

Графики y=log₃x и y=3^x симметричны друг другу относительно оси ординат.

Функция y=3^x является возрастающей, т.к а>1.

Функция y=log₃x убывает на всей области определения, на интервале 0<х<∞.

Единственным нулём функции y=log₃x является точка В ( 1;0 )

Область определения функции y=3^x (0; +∞ ).

Область определения функции y=log₃x (0; +∞ ).

Область отрицательности функции y=log₃x является интервал 0<х<1

Область отрицательности функции y=3^x отсутствует.

Асимптотой графика y=log₃x является ось ординат.

Асимптотой графика y=3^x является ось абсцисс.

Прямая y=x проходит через начало координат.

Прямая y=x не пересекает никакой график функции.

Прямая y=x имеет область положительности X⁺ ( 0; +∞ ).

Прямая y=x имеет область отрицательности X^- ( -∞; 0 ).

y=log_1/2x

y=(1/2)^x

y=x

b) Графики функций y=log_1/2x и y=(1/2)^x пересекаются в точке А ( 0,65; 0,65 ).

Функция y=log_1/2x убывает на всей области определения, на интервале 0<х<∞.

Функция y=(1/2)^x является убывающей, т.к 0<а<1.

Единственным нулём функции y=log_1/2x является точка В ( 1;0 )

Область определения функции y=(1/2)^x (0; -∞ )

Область определения функции y=log_1/2x ( 0; -∞ ).

Область отрицательности функции y=log_1/2x является Х^- ( 1; -∞; ) .

Асимптотой графика функции y=(1/2)^x является ось абсцисс.

Асимптотой графика функции y=log_1/2x является ось ординат.

Прямая y=x проходит через начало координат.

Прямая y=x пересекает графики функций в точке С (0,6; 0,6).

Прямая y=x имеет область положительности X⁺ ( 0; +∞ ).

Прямая y=x имеет область отрицательности X^- ( -∞; 0 ).

y=log₃x

y=log₅x

с

) y=log_ax , если a > 1 , то :

1. Функция имеет единственный нуль: х₀ = 1. График функции проходит через

точку В ( 1;0 ).

2. Областью положительности является интервал 0<х< ∞ , а областью отрицате-

тельности – интервал 0<х<1.

3. Функция возрастает на всей области определения, на интервале 0<х<∞.

4. При увеличении аргумента х значения log_ax также увеличиваются. Если значе-

ния аргумента х неограниченно приближаются к нулю, то значения log_ax

неограниченно уменьшаются.

5. Асимтотой графика функции является ось ординат.

y=log_1/10x

y=log_1/3x

d) y=log_ax , если 0 < a < 1 , то :

1. Функция имеет единственный нуль: х₀ = 1. График функции проходит через

точку В ( 1;0 ).

2. Областью положительности является интервал 0<х< 1 , а областью отрицате-

тельности – интервал 1<х<∞.

3. Функция убывает на всей области определения, на интервале 0<х<∞.

4. При увеличении аргумента х значения log_ax также уменьшаются. Если значе-

ния аргумента х неограниченно приближаются к нулю, то значения log_ax

неограниченно увеличиваются.

5. Асимтотой графика функции является ось ординат.