Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
CW v.2.0.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
09.12.2018
Размер:
81.99 Кб
Скачать

Система двух случайных величин

Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются двумя числами. Такие величины называются двумерными.

Будем обозначать через двумерную случайную величину. Каждую из величин и называют составляющей (компонентой); обе величины и , рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Если выборка состоит из набора двух случайных величин и , то набор точек с координатами называется диаграммой рассеивания.

Суммарное квадратическое отклонение для линейной регрессии зависит от двух параметров и , и определяется соотношением:

. (4)

Метод наименьших квадратов для линейной регрессии заключается в нахождении «наилучших» значений параметров и из условий минимума функции , то есть из системы уравнений:

. (5)

Параболическая регрессия предполагает теоретическую зависимость:

.

Теперь суммарное квадратическое отклонение зависит от трех параметров. Оптимальные значения параметров находятся из условий минимума функции , то есть из системы трех уравнений.

Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсией составляющих используют и другие характеристики; к их числу относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом случайных величин величины и называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин. Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

.

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами величины и .

Для вычисления часто используют следующую формулу:

. (6)

Коэффициентом корреляции случайных величин и называют отношение корреляционного момента к произведению среднеквадратических отклонений этих величин:

(7)

Он характеризует степень зависимости этих величин, причем не любой зависимости, а только линейной.

Практическая часть

Примем за – смертность, за – прирост населения.

Год

Смертность, %

Прирост населения, %

1992

4,8

-10,9

1993

-9,7

22,7

1994

-16,6

21,9

1995

-3,5

3,9

1996

-11,7

19,4

1997

6,1

-19,2

1998

-9,7

11,2

1999

0,2

-5,3

2000

-14,1

13,0

2001

4,9

-15,7

2002

-3,2

3,8

2003

-13,2

14,8

2004

-8,1

7,2

2005

3,0

-6,7

2006

-8,8

7,5

2007

5,4

-18,0

2008

2,4

-9,6

2009

1,6

-2,1

2010

-16,2

14,6

2011

-10,2

11,2

  1. Найдем математическое ожидание и дисперсия для и .

    X

    Y

    Mx =

    -4,83

    My =

    3,2

    Математическое ожидание

    Dx =

    58,50

    Dy =

    169,28

    Дисперсия

  2. Проведем статистический анализ для переменных и . Найдем выборочные средние, дисперсии и среднеквадратические отклонения для и по отдельности.

    1. Для величин и вычислим выборочные средние:

    1. Найдем выборочные дисперсии и средние квадратические отклонения:

  1. Найдем коэффициент корреляции и :

Получим:

X

Y

Mx =

-4,83

My =

3,2

Математическое ожидание

Dx =

58,50

Dy =

169,28

Дисперсия

σx =

7,65

σy =

13,01

Среднее квадратическое отклонение

<x> =

-4,83

<y> =

3,2

Выборочное среднее

rв=

–0,95

Коэффициент корреляции

Выборочный коэффициент корреляции служит для оценки силы линейной корреляционной связи: чем ближе к единице, тем сильнее связь; чем ближе к нулю, тем связь слабее. Видим, что в нашем случае линейная корреляционная связь сильная.

Так как выборочный коэффициент корреляции отрицательное, то увеличение одной величины приводит к уменьшению другой.

  1. Найдем по выборке уравнение линейной регрессии ( как функцию ) по методу наименьших квадратов.

Составим расчетную таблицу:

4,8

-10,9

-52,32

23,04

118,81

-9,7

22,7

-220,19

94,09

515,29

-16,6

21,9

-363,54

275,56

479,61

-3,5

3,9

-13,65

12,25

15,21

-11,7

19,4

-226,98

136,89

376,36

6,1

-19,2

-117,12

37,21

368,64

-9,7

11,2

-108,64

94,09

125,44

0,2

-5,3

-1,06

0,04

28,09

-14,1

13,0

-183,30

198,81

169,00

4,9

-15,7

-76,93

24,01

246,49

-3,2

3,8

-12,16

10,24

14,44

-13,2

14,8

-195,36

174,24

219,04

-8,1

7,2

-58,32

65,61

51,84

3,0

-6,7

-20,10

9,00

44,89

-8,8

7,5

-66,00

77,44

56,25

5,4

-18,0

-97,20

29,16

324,00

2,4

-9,6

-23,04

5,76

92,16

1,6

-2,1

-3,36

2,56

4,41

-16,2

14,6

-236,52

262,44

213,16

-10,2

11,2

-114,24

104,04

125,44

Уравнение линейной регрессии: .

Параметры и найдем по таким формулам:

Таким образом, линейная однопараметрическая модель регрессии показателя имеет вид: .

  1. Построим график, изображающий данные выборки и найденную функцию регрессии.

Нанесем линию регрессии на корреляционное поле (Рис. 1).

Рис. 1. Функция регрессия и исходные данные выборки.

  1. Соотношения между демографическими и экономическими явлениями и процессами не всегда можно выразить линейными функциями, так как при этом могут возникать неоправданно большие ошибки. В таких случаях используют нелинейную (по объясняющей переменной) регрессию. Учитывая расположение точек корреляционного поля, предположим, что наиболее подходящим уравнением регрессии будет уравнение параболы:

.

Его параметры найдем, применяя метод наименьших квадратов:

Приравняв частные производные и к нулю, получим после преобразований систему уравнений:

Для расчета необходимых сумм составим вспомогательную таблицу:

4,8

-10,9

-52,32

23,04

118,81

110,592

530,8416

-251,136

-9,7

22,7

-220,19

94,09

515,29

-912,673

8 852,9281

2 135,843

-16,6

21,9

-363,54

275,56

479,61

-4 574,296

75 933,3136

6 034,764

-3,5

3,9

-13,65

12,25

15,21

-42,875

150,0625

47,775

-11,7

19,4

-226,98

136,89

376,36

-1 601,613

18 738,8721

2 655,666

6,1

-19,2

-117,12

37,21

368,64

226,981

1 384,5841

-714,432

-9,7

11,2

-108,64

94,09

125,44

-912,673

8 852,9281

1 053,808

0,2

-5,3

-1,06

0,04

28,09

0,008

0,0016

-0,212

-14,1

13,0

-183,30

198,81

169,00

-2 803,221

39 525,4161

2 584,530

4,9

-15,7

-76,93

24,01

246,49

117,649

576,4801

-376,957

-3,2

3,8

-12,16

10,24

14,44

-32,768

104,8576

38,912

-13,2

14,8

-195,36

174,24

219,04

-2 299,968

30 359,5776

2 578,752

-8,1

7,2

-58,32

65,61

51,84

-531,441

4 304,6721

472,392

3,0

-6,7

-20,10

9,00

44,89

27,000

81,0000

-60,300

-8,8

7,5

-66,00

77,44

56,25

-681,472

5 996,9536

580,800

5,4

-18,0

-97,20

29,16

324,00

157,464

850,3056

-524,880

2,4

-9,6

-23,04

5,76

92,16

13,824

33,1776

-55,296

1,6

-2,1

-3,36

2,56

4,41

4,096

6,5536

-5,376

-16,2

14,6

-236,52

262,44

213,16

-4 251,528

68 874,7536

3 831,624

-10,2

11,2

-114,24

104,04

125,44

-1 061,208

10 824,3216

1 165,248

-96,6

63,7

-2190,03

1 636,48

3 588,57

-19 048,122

275 981,6008

21 191,525

Теперь система примет вид:

Решая систему методом Крамера, получим:

Тогда уравнение нелинейной регрессии имеет вид:

Добавим график нелинейной регрессии на корреляционное поле (Рис. 2).

Рис. 2. Линейная и квадратичная регрессии и исходные данные выборки.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]