Система двух случайных величин

Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются двумя числами. Такие величины называются двумерными.

Будем обозначать через двумерную случайную величину. Каждую из величин и называют составляющей (компонентой); обе величины и , рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Если выборка состоит из набора двух случайных величин и , то набор точек с координатами называется диаграммой рассеивания.

Суммарное квадратическое отклонение для линейной регрессии зависит от двух параметров и , и определяется соотношением:

. (4)

Метод наименьших квадратов для линейной регрессии заключается в нахождении «наилучших» значений параметров и из условий минимума функции , то есть из системы уравнений:

. (5)

Параболическая регрессия предполагает теоретическую зависимость:

.

Теперь суммарное квадратическое отклонение зависит от трех параметров. Оптимальные значения параметров находятся из условий минимума функции , то есть из системы трех уравнений.

Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсией составляющих используют и другие характеристики; к их числу относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом случайных величин величины и называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин. Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

.

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами величины и .

Для вычисления часто используют следующую формулу:

. (6)

Коэффициентом корреляции случайных величин и называют отношение корреляционного момента к произведению среднеквадратических отклонений этих величин:

(7)

Он характеризует степень зависимости этих величин, причем не любой зависимости, а только линейной.

Практическая часть

Примем за – смертность, за – прирост населения.

Год	Смертность, %	Прирост населения, %
1992	4,8	-10,9
1993	-9,7	22,7
1994	-16,6	21,9
1995	-3,5	3,9
1996	-11,7	19,4
1997	6,1	-19,2
1998	-9,7	11,2
1999	0,2	-5,3
2000	-14,1	13,0
2001	4,9	-15,7
2002	-3,2	3,8
2003	-13,2	14,8
2004	-8,1	7,2
2005	3,0	-6,7
2006	-8,8	7,5
2007	5,4	-18,0
2008	2,4	-9,6
2009	1,6	-2,1
2010	-16,2	14,6
2011	-10,2	11,2

1. Найдем математическое ожидание и дисперсия для и .

   X			Y
   Mx =	-4,83	My =		3,2	Математическое ожидание
   Dx =	58,50	Dy =		169,28	Дисперсия

2. Проведем статистический анализ для переменных и . Найдем выборочные средние, дисперсии и среднеквадратические отклонения для и по отдельности.

   1. Для величин и вычислим выборочные средние:

2. Найдем выборочные дисперсии и средние квадратические отклонения:

3. Найдем коэффициент корреляции и :

Получим:

X			Y
Mx =	-4,83	My =		3,2	Математическое ожидание
Dx =	58,50	Dy =		169,28	Дисперсия
σx =	7,65	σy =		13,01	Среднее квадратическое отклонение
<x> =	-4,83	<y> =		3,2	Выборочное среднее
rв=			–0,95			Коэффициент корреляции

Выборочный коэффициент корреляции служит для оценки силы линейной корреляционной связи: чем ближе к единице, тем сильнее связь; чем ближе к нулю, тем связь слабее. Видим, что в нашем случае линейная корреляционная связь сильная.

Так как выборочный коэффициент корреляции отрицательное, то увеличение одной величины приводит к уменьшению другой.

4. Найдем по выборке уравнение линейной регрессии ( как функцию ) по методу наименьших квадратов.

Составим расчетную таблицу:

4,8	-10,9	-52,32	23,04	118,81
-9,7	22,7	-220,19	94,09	515,29
-16,6	21,9	-363,54	275,56	479,61
-3,5	3,9	-13,65	12,25	15,21
-11,7	19,4	-226,98	136,89	376,36
6,1	-19,2	-117,12	37,21	368,64
-9,7	11,2	-108,64	94,09	125,44
0,2	-5,3	-1,06	0,04	28,09
-14,1	13,0	-183,30	198,81	169,00
4,9	-15,7	-76,93	24,01	246,49
-3,2	3,8	-12,16	10,24	14,44
-13,2	14,8	-195,36	174,24	219,04
-8,1	7,2	-58,32	65,61	51,84
3,0	-6,7	-20,10	9,00	44,89
-8,8	7,5	-66,00	77,44	56,25
5,4	-18,0	-97,20	29,16	324,00
2,4	-9,6	-23,04	5,76	92,16
1,6	-2,1	-3,36	2,56	4,41
-16,2	14,6	-236,52	262,44	213,16
-10,2	11,2	-114,24	104,04	125,44

Уравнение линейной регрессии: .

Параметры и найдем по таким формулам:

Таким образом, линейная однопараметрическая модель регрессии показателя имеет вид: .

5. Построим график, изображающий данные выборки и найденную функцию регрессии.

Нанесем линию регрессии на корреляционное поле (Рис. 1).

Рис. 1. Функция регрессия и исходные данные выборки.

6. Соотношения между демографическими и экономическими явлениями и процессами не всегда можно выразить линейными функциями, так как при этом могут возникать неоправданно большие ошибки. В таких случаях используют нелинейную (по объясняющей переменной) регрессию. Учитывая расположение точек корреляционного поля, предположим, что наиболее подходящим уравнением регрессии будет уравнение параболы:

.

Его параметры найдем, применяя метод наименьших квадратов:

Приравняв частные производные и к нулю, получим после преобразований систему уравнений:

Для расчета необходимых сумм составим вспомогательную таблицу:

	4,8	-10,9	-52,32	23,04	118,81	110,592	530,8416	-251,136
	-9,7	22,7	-220,19	94,09	515,29	-912,673	8 852,9281	2 135,843
	-16,6	21,9	-363,54	275,56	479,61	-4 574,296	75 933,3136	6 034,764
	-3,5	3,9	-13,65	12,25	15,21	-42,875	150,0625	47,775
	-11,7	19,4	-226,98	136,89	376,36	-1 601,613	18 738,8721	2 655,666
	6,1	-19,2	-117,12	37,21	368,64	226,981	1 384,5841	-714,432
	-9,7	11,2	-108,64	94,09	125,44	-912,673	8 852,9281	1 053,808
	0,2	-5,3	-1,06	0,04	28,09	0,008	0,0016	-0,212
	-14,1	13,0	-183,30	198,81	169,00	-2 803,221	39 525,4161	2 584,530
	4,9	-15,7	-76,93	24,01	246,49	117,649	576,4801	-376,957
	-3,2	3,8	-12,16	10,24	14,44	-32,768	104,8576	38,912
	-13,2	14,8	-195,36	174,24	219,04	-2 299,968	30 359,5776	2 578,752
	-8,1	7,2	-58,32	65,61	51,84	-531,441	4 304,6721	472,392
	3,0	-6,7	-20,10	9,00	44,89	27,000	81,0000	-60,300
	-8,8	7,5	-66,00	77,44	56,25	-681,472	5 996,9536	580,800
	5,4	-18,0	-97,20	29,16	324,00	157,464	850,3056	-524,880
	2,4	-9,6	-23,04	5,76	92,16	13,824	33,1776	-55,296
	1,6	-2,1	-3,36	2,56	4,41	4,096	6,5536	-5,376
	-16,2	14,6	-236,52	262,44	213,16	-4 251,528	68 874,7536	3 831,624
	-10,2	11,2	-114,24	104,04	125,44	-1 061,208	10 824,3216	1 165,248
∑	-96,6	63,7	-2190,03	1 636,48	3 588,57	-19 048,122	275 981,6008	21 191,525

Теперь система примет вид:

Решая систему методом Крамера, получим:

Тогда уравнение нелинейной регрессии имеет вид:

Добавим график нелинейной регрессии на корреляционное поле (Рис. 2).

Рис. 2. Линейная и квадратичная регрессии и исходные данные выборки.