Используя во втором уравнении системы (2.24) найденное первое приближение корня х1 и нулевые приближения остальных корней, получим первое приближение корня х2

x₂⁽¹⁾ = β₂ + α_{2 1} x₁⁽¹⁾ + α_{2 3} x₂⁽⁰⁾ + … + α_{2 n} x_n⁽⁰⁾ .

Повторяя эту процедуру последовательно для всех уравнений системы (2.24), получим, наконец, первое приближение корня

x_n⁽¹⁾ = β_n + α_{n 1} x₁⁽¹⁾ + α_{n 2} x₂⁽¹⁾ + … + α_{n n-1} x_n-1⁽¹⁾ .

Используя первые приближение корня системы, можно аналогичным образом найти вторые приближения, затем, используя вторые приближения, можно вычислить третьи и т.д.

Так же, как и при использовании метода последовательных приближений, итерационный процесс решения системы линейных уравнений методом Зейделя сходится к единственному решению при любом выборе начальных приближений искомых корней, если выполняется одно из условий (2.29). Отметим, что при использовании метода Зейделя процесс сходится быстрее.

Погрешность решения системы уравнений методом Зейделя принято оценивать по формулам (2.30)  (2.32).

Схема алгоритма решения системы уравнений методом Зейделя (рис. 11) лишь незначительно отличается от схемы алгоритма решения методом

- 27 -

1

2

3

4

Ввод матрицы коэффициентов A, вектора свободных членов B, вектора нулевых приближений неизвестных X0, точности eps, числа уравнений n

Цикл копирования массива X0 в массив X

5

6. Очистка накопителя test суммы модулей разницы k-го и (k+1)-го приближений (см. неравенство блока 17)

7 Цикл вычисления вектора-столбца приближений неизвестных системы

8 Очистка накопителя суммы

9 Цикл вычисления суммы сла--гаемых левой части i–го уравнения системы

10

11 Конец цикла по j

Рис. 11. Схема алгоритма решения системы линейных

уравнений методом Зейделя

- 28 -

12 Вычисление суммы слагаемых левой части i–го уравнения без

i-го слагаемого

13 Вычисление очередного при-

ближения неизвестного X[i]

14 Добавление в накопитель test очередного слагаемого

15 Запись нового приближения неизвестного в массив

16 Конец цикла по i

17 Проверка условия окончания итерационного процесса поиска приближенных значений неизвестных системы

18 Вывод массива значений вектора-столбца неизвестных системы

19

Рис. 11 (продолжение). Схема алгоритма решения

системы линейных уравнений методом Зейделя

- 29 -

последовательных приближений. Вместо переменной bpx следует ввести индексированную переменную, например X1[1], исключив из схемы блок 15. После проверки условия окончания вычислений (блок 17) в ветвь “отрицательного ответа” необходимо включить цикл копирования элементов массива X1 в соответствующие элементы массива X.

Оценка погрешности аппроксимации и выбор эффективной аппроксимирующей функции

Результатом этапа решения системы нормальных уравнений (2.11) является получение значений параметров аппроксимирующей функции (2.9)

для заданного набора базисных аппроксимирующих функций

.

Решение () системы нормальных уравнений определяет значения параметров, при которых критерий качества аппроксимации J принимает минимально возможное значение . При всех других допустимых значениях параметров величина критерия будет больше. Тем самым полученное число может быть принято за характеристику эффективности аппроксимации заданной функциональной зависимости функциями выбранного класса. При изменении класса аппроксимирующих функций, а также при изменении набора базисных функций значение может меняться. Сравнение различных классов функций по их эффективности (качеству) аппроксимации может осуществляться на основе сравнений соответствующих значений .

Для количественной оценки погрешности аппроксимации может использоваться также величина () максимального отклонения исходной функциональной зависимости от найденной аппроксимирующей. Для задачи 1 (подразд. 2.1.) значение

рассчитывается с помощью алгоритмов определения максимального элемента последовательности или массива.

В курсовой работе исходный набор базисных аппроксимирующих функций используется для отладки разрабатываемых алгоритмов, получения первых результатов аппроксимации (,) и построения графика, на котором отображаются исходная и аппроксимирующая функции. Студенту необ-

- 30 -

ходимо самостоятельно выбрать два дополнительных набора базисных функций и на их основе получить результаты аппроксимации, включая графики на

общем изображении. По трем результатам аппроксимации следует определить лучшую аппроксимирующую функцию. Процесс поиска лучшего набора базисных функций по результатам аппроксимации представлен на схеме рис. 12.