6.2. Вытеснение нефти водой из трубки тока переменного сечения

Строгое гидродинамическое решение задачи о движении границы раздела двух жидкостей в общем случае отсутствует. Оно существует для прямолинейного и плоскорадиального притоков. Эти задачи возникли в связи с вопросом о стягивании контура нефтеносности или газоносности при водонапорном режиме течения в процессе разработки нефтяной или газовой залежи.

Впервые указанная задача была поставлена и решена Л. С. Лейбензоном. При этом полагалось, что давление на границе раздела остается постоянным, т. е. вязкость воды m_в=0.

Маскет рассмотрел задачу в постановке, когда вязкость воды отлична от нуля, m_в¹0, и первоначальная граница раздела совпадает с контуром питания. Более общий случай, когда первоначальная граница и контур питания не совпадают, был исследован В. Н. Щелкачевым.

Рассмотрим задачу о продвижении границы раздела в постановке И. А. Чарного. Пусть трубка тока переменного сечения w(s) заполнена пористой средой, насыщенной водой и нефтью (рис. 6.1). Полагаем, что вытеснение происходит «поршневым» образом, т. е. считаем границу раздела некоторой поверхностью (на самом деле резкой границы раздела нет из-за происходящих в пористой среде капиллярных явлений).

Рис.6.1. Схема вытеснения нефти водой из

Трубки тока переменного сечения

Пренебрегая силами тяжести, для установившегося движения однородной несжимаемой жидкости по закону Дарси расход записываем формулой

(6.1)

Разделяя переменные в (6.1) и интегрируя в соответствующих пределах, получаем

(6.2)

Здесь объемный расход Q во всех сечениях трубки тока одинаковый, т. к. жидкость считается несжимаемой и движение – установившееся. Вводя фильтрационное сопротивление

(6.3)

формулу (6.2) запишем в виде

(6.4)

В силу неразрывности потока выражение для расхода через сечение w (s) может быть представлено следующим образом:

По правилу производных пропорций имеем

(6.5)

где

(6.6)

Определим время движения границы раздела. Пусть за время dt граница раздела прошла путь ds. Тогда справедливо

Интегрируя данное уравнение с учетом (6.5), получаем

(6.7)

Когда точное интегрирование уравнения (6.7) невозможно, то применяют методы численного интегрирования. В следующих параграфах рассмотрены некоторые частные случаи.

6.3. Прямолинейное движение границы раздела с постоянными толщиной, пористостью и проницаемостью пласта

Рассмотрим прямолинейное движение контура нефтеносности (КН) к прямолинейной батарее скважин в полосообразном пласте (рис. 6.2). Принимаем: Р_к=cоnst – давление на контуре питания (КП); Р_с=cоnst – давление на одной из близких изобар к батарее скважин; w (s)=cоnst.