5.2 Синтез дискретного корректирующего звена
Так как в данной САУ предусматривается установка цифрового микроконтроллера, который может осуществлять вычисление сигнала рассогласования, а при необходимости реализовывать программную коррекцию системы, то следует рассчитать программное корректирующее устройство.
Выберем интервал опроса датчиков (период дискретизации) 0.001 с для того чтобы обеспечить выполнение требуемого закона управление за время переходного процесса 0.04 с
Перейдем от непрерывной модели объекта к дискретной с интервалом дискретизации 0.001 c, используя экстраполятор нулевого порядка, для этого воспользуемся в программе MATLAB функцией преобразования непрерывной модели системы в дискретную (с2d) [6].
Ts=0.001;Wdis=c2d(Wp,Ts,'zoh') , получим передаточную функцию разомкнутой дискретной системы:
. (38)
Для проверки качества выполненной аппроксимации сравним частотные характеристики исходной непрерывной и полученной дискретной моделей, изображенные на рисунке 15. ЛАЧХ дискретной модели строится в зависимости от псевдочастоты λ, при этом сначала проводится ω-преобразование заменяя z=(1+ω)/(1-ω), а затем осуществляется переход от W(ω) к частотному выражению передаточной функции через псевдочастоту λ путем замены ω=0.5Tsλj.
Из рисунка 15 следует, что аппроксимация выполнена верно.
Рисунок 15 – ЛАЧХ непрерывной и дискретной разомкнутых систем
Для синтеза дискретного регулятора построим корневой годограф исследуемой системы – рисунок 16.
Рисунок 16 – Корневой годограф дискретной системы
Необходимое и достаточное условие устойчивости дискретных систем формулируется следующим образом: замкнутая импульсная система устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат внутри круга единичного радиуса [3].
Из корневого годографа следует, что с увеличением коэффициента усиления полюсы замкнутой системы быстро выходят за пределы единичной окружности и система становится неустойчивой. Поэтому введем некоторую динамическую коррекцию в виде дискретного компенсатора с передаточной функцией:
, (39) для обеспечения заданных требования подберем коэффициенты k, a и b.
То есть получим корневой годограф, изображенный на рисунке 17.
Рисунок 17 – Корневой годограф скорректированной дискретной системы
Откуда k=380; (40)
a=-0.596; (41)
b=0.506. (42)
Рисунок 18 – Переходный процесс в скорректированной замкнутой дискретной системе
Прямые оценки качества переходной характеристики:
1. Время регулирования tp=0.02 c;
2. Перерегулирование σ=(1.2-0.974)/0.974= 23 %.
Данные показатели качества удовлетворяют заданным требованиям.
С учетом выражения (39) - (42) запишем дискретную передаточную функцию корректирующего устройства:
. (43)
Тогда передаточная функция дискретной разомкнутой скорректированной системы:
. (44)
Построим ЛАЧХ исходной непрерывной разомкнутой системы и дискретной разомкнутой скорректированной системы.
Рисунок 19 – ЛАЧХ непрерывной и дискретной скорректированной разомкнутых систем.
Согласно частотному критерию устойчивости импульсных систем, аналогичному критерию устойчивости Найквиста для непрерывных систем, который формулируется: если разомкнутая импульсная система устойчива, то замкнутая импульсная система регулирования устойчива, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку (-1, j0) [3].
Рисунок 20 – АФЧХ разомкнутой дискретной системы.
По рисунку 20 определим запас по амплитуде, составляющий 26.4 дБ, а также запас по фазе, составляющий 49.2 градуса. То есть скорректированная дискретная система отвечает требованиям технического задания.
Умножая числитель и знаменатель выражения (43) на z-1, получим
. (45)
Выражение (44) является передаточной функцией дискретного последовательного корректирующего устройства в формате цифрового фильтра. При этом множитель z-1=e-pT, представляет собой оператор задержки, то есть
z-1*Uk=Uk-1, z-2*Uk=Uk-2 и т. д.
Аналоговые фильтры, как известно, состоят из элементов L, R и С, а в некоторых случаях еще и из управляемых источников. Цифровые фильтры состоят из совсем других элементов, а именно:
a) элементов z-1, осуществляющих единичные задержки на один такт T (регистры сдвига для хранения предыдущих значений входных и выходных сигналов), обозначают их в соответствии с рисунком 21, a;
б) перемножителей, которые выполняют умножение или масштабирование – рисунок 21, б;
в) сумматоров, они же могут выполнять и вычитание – рисунок 21, в.
xk(n) xk-1(n) xk(n) A*xk(n) xk(n) xk(n)+уk(n)
z-1
уk(n)
а)
б)
в)
Рисунок 21 – обозначение элементов цифровых фильтров
Рассмотрим реализацию передаточной функции цифрового фильтра прямым методом [2]. Он основан на том, что передаточной функции
, (46)
соответствует разностное уравнение
. (47)
Уравнению (47) отвечает схема на рисунке 22.
Рисунок 22 – Схема реализации разностного уравнения
Таким образом, передаточная функция последовательного дискретного корректирующего устройства реализуется в виде:
Рисунок 23 – Схема последовательного дискретного корректирующего устройства