2. Аналізування портфелів

Для вибраних у попередньому розділі чотирьох інвестиційних проектів B, С, G, Е зображаємо парний розподіл квартальних відносних прибутків у системі координат де вздовж горизонтальної вісі відкладаємо відносні квартальні прибутки для одного цінного паперу, а вздовж горизонтальної для другого (рис. 10-15).

Кожна точка на даному графіку репрезентує відносні дійсні прибутки за певний квартал. При цьому позиція даної точки на координатній осі дає позиційне відображення величини даних прибутків за один і той самий квартал одночасно для інвестиційних проектів. Пунктирні лінії умовно ділять координатну площину на чотири квадранти, дані лінії зображають очікувані відносні квартальні прибутки цінних паперів .

Для кожної можливої комбінаційної пари з чотирьох обраних у попередньому розділі цінних паперів будуємо окремий варіант графічного зображення парного розподілу дійсних та очікуваних відносних квартальних прибутків. Оскільки обраних інвестиційних проектів є чотири, то кількість необхідних для зображення парних розподілів становить - шість. Вихідні дані для побудови парних розподілів містяться у табл.1 додатку А.

Для обраних чотирьох видів цінних паперів скомбінованих попарно розраховуємо показники коваріації, регресії та детермінації. Для обчислення коваріації між дійсними відносними квартальними прибутками для двох видів цінних паперів і та j використовуємо наступні формули:

(7)

де - відносні дійсні квартальні прибутки цінних паперів і-того та j-того виду відповідно, за t-тий квартал;

- відносні очікувані квартальні прибутки цінних паперів і-того та j-того виду відповідно.

Провівши за формулою (7) розрахунок коваріації для кожної можливої пари з чотирьох обраних цінних паперів результати наводимо у вигляді коваріаційної матриці (табл.3, додаток А).

В наведеній вище коваріаційній матриці (табл. 3, додаток А) головна діагональ містить показники дисперсії кожного з чотирьох видів цінних паперів.

Частину елементів коваріаційної матриці над головною діагоналлю заповнюємо елементами з під головної діагоналі симетричними відносно головної діагоналі.

Після складення коваріаційної матриці розраховуємо кореляційний коефіцієнт між кожною парою з чотирьох обраних цінних паперів.

(8)

Щоб порахувати кореляційний коефіцієнт між відносними дійсними квартальними прибутками за двома цінними паперами і та j використовуємо формулу:

В ході виконання проекту для розрахунків кореляційного коефіцієнта використовуємо значення коваріацій.

Результати обчислених коефіцієнтів кореляції зводяться в кореляційну матрицю котра має вид аналогічний до кореляційної матриці (таблиця 3.1, додаток А). На відміну від коваріаційної матриці головна діагональ кореляційної матриці містить виключно одиниці, оскільки автокореляція завжди має досконалий тип.

Для більш повної картини сумісності будуємо моделі оцінки капітальних активів (CAPM) між кожним з чотирьох обраних видів цінних паперів та умовним ринковим портфелем, побудованим на основі раніше розрахованого М-індексу. Дійсні та очікувані відносні квартальні прибутки такого портфелю та його ризик також розраховані та наведені раніше.

Для розрахунку моделі оцінки капітальних активів слід встановити емпіричний регресійний лінійний взаємозв’язок між абнормальними відносними дійсними прибутками ринкового портфелю та кожного виду цінних паперів. Абнормальний відносний прибуток являє собою прибуток понад 70% середнього рівня сподіваного відносного прибутку ринкового портфелю. Отже для обчислення абнормального прибутку для цінного паперу або портфелю і-того виду за t-тий квартал можна скористатися наступною формулою:

(9)

При обчисленні абнормальних відносних прибутків для цінних паперів по кварталах складові для обчислень вибираємо серед обчислених раніше: дійсні відносні щоквартальні прибутки (табл. 1, додаток А), сподіваний квартальний відносний прибуток ринкового портфелю (табл. 1, додаток А).

В ході виконання проекту розрахунки абнормальних відносних прибутків здійснюємо для чотирьох видів обраних цінних паперів та ринкового портфелю. Результати проведених обчислень зводимо у табличний вигляд (табл. 4, додаток А).

При заповненні таблиці значень абнормальних відносних квартальних прибутків результати обчислень за формулою (9) заносимо в графи для абнормальних відносних дійсних квартальних прибутків. Стосовно середнього значення абнормальних прибутків та коваріації, то їх розрахунки проводимо за формулами:

• середнього значення абнормальних відносних прибутків:

(10)

• величини коваріації між абнормальними відносними дійсними прибутками цінного паперу і-того виду та ринковим М-портфелем, зформованим на основі М-індексу:

(11)

де -відповідно дійсні та середні абнормальні відносні квартальні прибутки для цінного паперу і-того виду;

-відповідно дійсні та середні абнормальні відносні квартальні прибутки для умовного ринкового портфелю.

Дисперсію абнормальних прибутків цінного паперу і-того виду чи ринкового портфелю можна знайти за формулою:

(12)

Після заповнення даної таблиці знаходимо параметри рівняння взаємозв’язку між абнормальними відносними квартальними прибутками цінного паперу і-того виду та ринковим портфелем. В загальному випадку дане рівняння прийме вигляд:

(13)

де - сподівані абнормальні відносні квартальні прибутки для цінного паперу і-того виду та ринкового портфелю відповідно;

- коефіцієнти моделі оцінки капітальних активів для цінного паперу і-того виду.

Для визначення даних коефіцієнтів для кожного цінного паперу і-того виду користуємося наступними формулами:

• коефіцієнту систематичного ризику цінного паперу і-того виду:

(14)

• вільного члену моделі оцінки капітальних активів для цінного паперу і-того виду:

( 15)

При виконанні курсового проекту для кожного з чотирьох альтернативних видів інвестування у цінні папери встановлюємо тісноту взаємозв’язку побудованої моделі оцінки капітальних активів. Для цього встановлюється коефіцієнт детермінації між незалежним і залежним фактором моделі, тобто розрахунок проводиться за формулою (16):

(16)

Результати проведених розрахунків групуємо у таблицю 5 додатку А.

Отримавши значення бета-фактору ми можемо зробити висновок про тип інвестицій, для котрих значення бета фактору є меншим одиниці. Отже, тип інвестицій є «захисним». На основі отриманих результатів побудуємо зображення лінії регресії при побудові CAMP для чотирьох інвестиційних проектів (рис. 16 додаток Б)

Чотири обрані у попередньому розділі інвестиційні проекти В, С, Е, G умовно розбиваються на два портфелі В, Е та С, G по два цінних папери у кожному. Критерієм вдалої розбивки є вибір мінімального можливого (від’ємного) значення коваріації між двома цінними паперами, що входять у даний портфель. Для першого портфелю коваріація = -0,0012, для другого = 0,0029.

Загальновідомо, що з цінних паперів лише двох видів можна сформувати безліч портфелів з різними ризико-прибутковими характеристиками, в залежності від того в яких пропорціях дані цінні папери входять у портфель. Долю коштів інвестованих у цінний папір певного виду у загальній сумі інвестицій зроблених у даний портфель називають портфельною вагою даного цінного паперу у портфелі. Сума портфельних ваг всіх активів, що входять у один портфель завжди дорівнює одиниці, проте значення окремої портфельної ваги може бути більшим одиниці та від’ємним за рахунок додаткових можливостей, котрі дає використання концепції короткого продажу.

В залежності від величини обраної портфельної ваги першого активу, що входить у двохактивний портфель ризико-прибуткові характеристики останнього виражаємо наступними співвідношеннями:

• відносний сподіваний квартальний прибуток портфелю, до складу котрого входять два активи Q та R:

(17)

• величина ризику (середньоквадратичне відхилення) портфелю, до складу котрого входять два активи Q та R:

(18)

де - портфельна вага (частка) вартості активу Q в загальній вартості портфелю, що складається з двох активів Q та R;

- портфельна вага (частка) вартості активу R в загальній вартості портфелю, що складається з двох активів Q та R;

- сподівані квартальні прибутки цінних паперів Q та R відповідно (для цінних паперів обраних проектантом сподівані прибутки вже обчислені та наведені в табл. 1 додатку А);

- величини ризику (середньоквадратичне відхилення) цінних паперів Q та R відповідно (для цінних паперів обраних проектантом величина ризику вже обчислена та наведена в табл. 1 додатку А);

- величина коваріації відносних дійсних квартальних прибутків цінних паперів Q та R (для цінних паперів обраних проектантом величина коваріації вже обчислена та наведена в табл. 3 додатку А).

Для розрахунку параметрів можливих портфелів табулюємо значення сподіваних відносних прибутків та ризику портфелів для різних значень портфельної ваги активу першого виду на проміжку від -100% до 200% з кроком 10%. Результати проведених обчислень наводять в табличному виді (табл. 6 додатку А).

Результати обчислень сподіваних прибутків та ризику портфелю за формулами (17-18) заносимо в відповідні колонки таблиці (колонки 2, 3).

Аналогічний розрахунок проводимо і для іншого портфелю з двох цінних паперів.

Отже, на основі проведених розрахунків можемо зробити висновок, що дані цінних паперів у портфелі є сумісними.

За погодженням з керівником з протабульованих параметрів портфелів обираємо по одному портфелю з мінімальним значенням ризику (точка MVP на графіку «кулі Марковіча»). Для даних портфелів за раніше наведеними формулами (17,18) уточнюється значення прибутку та ризику.

Оскільки обрані нами портфелі з точки зору ризико-прибуткових характеристик нічим не відрізняються від звичайних цінних паперів, то наступною стадією є проектування портфелю котрий складатиметься з двох портфелів, тобто буде містити в собі чотири початкових фондових активи.

Розрахунок такого портфелю здійснюється за аналогією до розрахунку портфелів з двох звичайних активів. В процесі формування даного портфелю так як і двох попередніх необхідно розрахувати параметри відносних очікуваних прибутків та величини ризику при різних пропорціях активів, що входять в даний портфель. В ході формування даного портфелю для розрахунку відносних сподіваних квартальних прибутків та ризику використовуємо відповідні формули (17, 18). Результати обчислень за даними формулами так само заносимо у відповідну таблицю(табл. 6 додатку А). На основі розрахованих даних будуємо «кулю Марковіча» (рис. 17 додаток Б).

Після проведення розрахунків двох портфелів, що складаються з двох активів кожен та одного чотрирьох активного портфелю формуємо ще один портфель, котрий на цей раз складається з трьох активів.

Для початку вибирається вихідний матеріал для формування такого портфелю. За обов’язковим погодженням з керівником проекту перш за все вибираємо три види цінних паперів серед раніше вибраних чотирьох видів. Стараємось при цьому обрати цінні папери з найкращими ризико-прибутковими характеристиками, проте кожен конкретний випадок обговорюється окремо. Критерієм придатності даних цінних паперів для формування портфелю виступають коваріаційні співвідношення між ними. Даних три види цінних паперів і є вихідним матеріалом для побудови портфелю з трьох активів.

При побудові та графічному зображенні характеристик портфелю з трьох активів використовуємо координатну площину для котрої вздовж горизонтальної осі відкладаємо частку одного активу (портфельну вагу) в загальній структурі портфелю, а вздовж другої осі відкладаємо портфельну вагу другого активу. Портфельну вагу третього активу зображати немає потреби, оскільки її можна визначити виходячи з того, що сума портфельних ваг активів одного портфелю повинна дорівнювати одиниці.

Тобто для портфелю, що складається з трьох активів B, C, G справедливе співвідношення:

(19)

де - портфельні ваги активів В, С та G у портфелі.

Звідси:

(20)

Приклад демонструє можливість отримання від’ємної величини портфельної ваги, що має економічне обґрунтування у вигляді концепції короткого продажу. Проте на практиці часто використання даної концепції суперечить принципам фінансової політики інституційних інвесторів, а отже на графічній моделі (рис. 17, додаток Б) зображена обмежена область місцезнаходження портфелів при формуванні котрих немає необхідності використовувати дану концепцію. Ця область зображена у вигляді одиничного трикутника.

В ході виконання проекту наносимо на графічну модель трьох активного портфелю ізолінії сподіваних відносних прибутків котрі являють собою геометричне положення на моделі портфелів з однаковою величиною сподіваних відносних прибутків (рис. 18 додаток Б).

В загальному випадку рівняння ізолінії сподіваних відносних прибутків виражається лінійним співвідношенням між першими двома портфельними вагами портфелю з трьох активів, тобто:

(21)

де - відповідно вільний член та коефіцієнт нахилу ізолінії сподіваних прибутків портфелю.

Для портфелю, що складається з трьох активів B,C,G кут нахилу всіх ізоліній сподіваних прибутків є одинаковим і не залежить від сподіваної величини відносного доходу портфелю. Його можна визначити за формулою:

(22)

Розраховуємо дану величину для свого проекту, при цьому використовуємо обчислені раніше (табл. 1, колонка 7 додатку А) значення сподіваних прибутків.

Вільний член ізолінії сподіваних прибутків залежить від сподіваного відносного прибутку портфелів котрі зображаються у вигляді конкретної ізолінії сподіваних прибутків. Отже, для його обчислення слід перш за все задатись величиною сподіваних прибутків портфелів, для яких будуватиметься дана лінія. Розрахунок вільного члена ізолінії сподіваних прибутків портфелю здійснюємо за формулою:

(23)

При виконанні курсового проекту будуємо стільки ізоліній сподіваних прибутків портфелів, скільки їх є необхідно для того, щоб повністю перекрити одиничний трикутник на графіку, так як це показано вище на графічній моделі (рис. 17 додаток Б). Таким чином самостійно вибираємо початкове значення сподіваних прибутків портфелю для першої ізолінії. Всі наступні ізолінії розраховуємо для портфелів, що за своїми прибутками віддалені від початкової лінії на 2.0 %. Тобто, можемо, наприклад, розраховувати параметри ізоліній для портфелів за якими сподіваються отримати 12%, 14%, 16%, 18%, 20%, як це показано на моделі (рис. 17 додаток Б).

Результати обчислених параметрів ізоліній приводимо в табличному виді (див. табл. 7, додаток А).

Після розрахунку параметрів ізоліній сподіваних прибутків приступаємо до побудови ізоваріаційних еліпсів, котрі являють собою зображені на моделі позиції портфелів, котрі мають одинакову величину ризику.

Для розрахунку величини ризику портфелю котрий складається з трьох активів B,C,G використовуємо формулу:

(24)

В даній формулі можна використовувати в якості складових значення коваріації та дисперсії знайдені раніше. Дані значення знаходяться в матриці коваріацій (табл. 3 додаток А).

При виконанні курсового проекту розраховуємо параметри двох ізоваріаційних еліпсів, дотичних до відповідних двох ізоліній сподіваних відносних квартальних прибутків портфелю з трьох активів (рис. 19 додаток Б).

Для такого розрахунку перш за все знаходимо точку дотику обраної ізолінії та відповідного ізоваріаційного еліпса. Для цього використовуємо ітераційне обчислення значення ризику портфелю за наведеною вище формулою (24) для значень портфельних ваг котрі знаходяться на обраній ізолінії. При цьому вага першого активу початково обираємо довільно, вага другого активу знаходимо за формулою даної ізолінії (21), конкретні приклади рівнянь котрої знайдені в таблиці (див. табл.7 додаток А). Значення ваги третього активу знаходимо зі формули співвідношення портфельних ваг (20). Після знаходження одного набору портфельних ваг для даного рівняння ізолінії їх значення разом з відповідними розрахованими значеннями коваріацій та дисперсій визначених раніше (див.табл.3 додаток А) підставляємо у формулу ризику портфелю (24) і знаходимо величину ризику. Після цього розрахунок повторюємо для інших значень портфельних ваг, змінивши значення першої з них відносно початкової на величину певного довільно обраного стандартного кроку. Такі обчислення проводимо до тих пір поки не буде досягнуте значення мінімального ризику зі встановленою точністю до п’ятого знаку після коми. Якщо в процесі виконання наступної ітерації величина ризику навпаки збільшилась, то слід відкинути результати даної ітерації, зменшити в два рази крок зміни портфельної ваги першого активу та поміняти знак даного кроку на протилежний.

Аналогічним чином проводимо встановлення точки мінімального ризику і для другої лінії. Результати проведених обчислень доцільно привести у табличному вигляді (табл. 8 та 8.1 додаток А).

В даній таблиці колонка 1 містить інформацію про крок приросту першого активу на котрий збільшується (зменшується) значення портфельної ваги активу A (колонка 2), значення для двох наступних колонок (колонки 3, 4) розраховуються за відповідними формулами (21 та 20 відповідно), ризик портфелю розраховується за наведеною вище формулою (24). Обов’язковим є розрахунок ризику з точністю до п’яти знаків після коми. Остання колонка таблиці містить значення абсолютного спадання ризику, тобто різницю між величиною ризику отриманою при попередній ітерації і ризиком розрахованим при даній ітерації. Обчислення проводимо до тих пір поки ланцюгове абсолютне спадання ризику не стане становити нуль.

Аналогічний розрахунок проводимо і для другої ізолінії.

Результатом таких проведених розрахунків стає отримання значення мінімального ризику для даної ізолінії. Це мінімальне значення підставляємо у формулу ризику портфелю (24) при розрахунку точок проходження ізоваріаційного еліпсу портфелів з даним рівнем ризику.

Розраховуємо значення щонайменше 12-ти точок для кожного з двох необхідних ізоваріаційних еліпсів. Для цього він задається довільним початковим значенням першого активу у портфелі, підставляє його значення в формулу ризику (24) і розв’язує дане рівняння відносно значення портфельної ваги другого активу. Результати розрахунку наносимо на графік (рис. 20 додаток Б) та приводимо в табличній формі (табл. 9 додаток А).

В даній таблиці крім номера розрахованої точки ізоваріаційного еліпсу міститься інформація про вагу першого активу у портфелі (колонка 1) та два можливих варіанти портфельної ваги другого активу у портфелі (колонки 2,3).

Другий актив у даній таблиці представлений двома можливими варіантами в силу того, що при знаходження його величини в ході розв’язання рівняння (24) ми приходимо до квадратного рівняння, котре може мети два корені. У випадку коли рівняння не має жодного розв’язку слід змінити значення портфельної ваги першого активу і повторити розрахунки.

Після розрахунку параметрів ізоваріаційних еліпсів проектант розраховуємо параметри критичної лінії, котра на графічній моделі (рис. 19) представляє положення портфелів з мінімально можливим ризиком для даного рівня сподіваних прибутків портфелю.

Критична лінія проходить через точки дотику ізоліній сподіваних відносних прибутків до відповідних ізоваріаційних еліпсів. Дана лінія може бути описана рівнянням прямої:

(25)

де - відповідно вільний член та коефіцієнт нахилу критичної лінії.

Попередньо вже розраховані параметри портфельних ваг для активів A та B в точках дотику ізоліній до відповідних ізоваріаційних еліпсів (табл. 8, колонки 2, 3, остання стрічка додаток А). Таким чином маючи координати двох точок, через котрі проходить критична лінія нескладно знайти характеристики її рівняння:

(26)

(27)

де - портфельні ваги першого та другого активів для портфелю, котрий представлений на графічній моделі точкою дотику першої ізолінії до відповідного ізоваріаційного еліпсу;

- портфельні ваги першого та другого активів для портфелю, котрий представлений на графічній моделі точкою дотику другої ізолінії до відповідного ізоваріаційного еліпсу.

Після встановлення параметрів критичної лінії за допомогою ітераційного методу половинного ділення знаходимо параметри портфелю з абсолютним мінімальним ризиком, котрий на графічній моделі (рис. 17 додаток Б) представлений у вигляді точки MVP (minimum variance of portfolio). Положення даної точки знаходимо аналогічно до знаходження точки мінімального ризику на ізолініях сподіваних прибутків. При знаходженні заповнюємо табличку, аналогічну до тої котра використовувалась для обчислення параметрів точки мінімального ризику на даній ізолінії (табл. 8 додаток А).

Положення даної точки наноситься на графічну модель портфелю.

Після побудови такої моделі завершуємо стадію аналізування наявних портфелів і можемо приступати до вибору підходящих портфелів.