2. Распределение

Пусть независимые случайные величины х₁, х₂,..., х_п распределенные по нормальному закону с m=0 и =1.

Закон распределения случайной величины

,

называется хи-квадрат распределением с n степенями свободы (количество независимых координат).

С увеличением степеней свободы распределение приближается к нормальному.

3. Распределение Стьюдента (Госсета)

Пусть х, в независимые случайные величины, причем х распределено по нормальному закону с параметрами (0;1), в – по закону с n степенями свободы. Тогда, распределение случайной величины называется законом Стьюдента с n степенями свободы или t-распределением.

При увеличении числа степеней свободы распределение Стьюдента приближается к нормальному.

Значение коэффициентов Стьюдента для соответствующей доверительной вероятности и n степенями свободы сведены в таблицы.

В математической статистике при определении оценок вероятностей попадания случайной величины в доверительный интервал – интервал, который с заданной вероятностью р покрывает параметр случайной нормально распределенной величины, используют t-распределение Стьюдента:

Рис. 6.5. Плотность вероятности распределения Стьюдента

Рис. 6.6. Функция распределения случайной величины Стьюдента со степенью свободы 1

Математическое ожидание распределения Стьюдента равняется 0, а дисперсия – . Плотность вероятности и функция распределения Стьюдента представленные на рис. 6.5. и 6.6. соответственно.

Число степеней свободы - это количество независимых координат.

1. Эмпирические законы распределения случайных величин

В большинстве случаев при решении реальных задач законы распределения неизвестные, поэтому их необходимо оценивать по выборке.

Набор значений (х₁,х₂,...,х_п) случайной величины Х, которые получены в результате n опытов, называется объемом выборки. По частоте признаков, которые легли в выборку мы можем оценить судьбу признака во всей партии, т.е. в генеральной совокупности. Выборка называется репрезентативной, если она представляет все части генеральной совокупности.

По обыкновению на практике мы получаем эмпирическое распределение случайной величины. Результаты измерения можно представить в виде диаграммы, которая показывает, как часто были получены те или другие значения. Такой эмпирический график распределения называется гистограммой (рис. 6.7).

Для построения гистограмм весь диапазон полученных значений разбивают на малые интервалы и подсчитывают вероятность попадания случайной величины в данный интервал, т.е. ось ординат - это ось вероятностей попадания случайной величины в данный интервал, а ось абсцисс - это ось результатов наблюдений, которые разбитые на полузакрытые интервалы. Получим фигуру, которая состоит из прямоугольников, количество которых равняется числу интервалов на которые разбиты результаты наблюдений.

Примеры таких наблюдений: частота сердечных сокращений, частота дыхания у группы лиц (рис. 6.7); распределение числа импульсов, которые поступают от звукового генератора за определенный промежуток времени и т.п..

Рис. 6.7.