2. Законы распределения дискретных случайных величин

   1. Биномиальное распределение (распределение Бернулли)

Дискретная случайная величина х, которая может принимать только целые значение с вероятностями

т=0,1,...,n,

где р - вероятность появления события в каждом испытании, т - количество благоприятных событий, n - общее количество испытаний, q=1-p,

называется распределенной по биномиальному закону с математическим ожиданием nр, и дисперсией - npq.

Закон Бернулли используется тогда, когда необходимо найти вероятность появления случайного события, которое реализуется ровно т из серии n испытаний.

Биномиальному закону распределения подчиняются случайные события такие, как число вызовов скорой помощи за определенный промежуток времени, очереди к врачу в поликлинике, эпидемии и т.п..

Пример 1

Пусть Х – число рецесивов среди n потомков полученных при скрещивании двух гибридов g g. По теории Менделя вероятность того, что потомок двух гибридов будет рецесивом равняется 0,25, в рамках теории Менделя Х есть биномиальной случайно изменяющейся с вероятностью:

,

Т.е. подставляя определенные значения т получим вероятность рецесивов среди n потомков.

1. Распределение Пуассона

Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые значения с вероятностями

, называется распределенной по закону Пуассона с математическим ожиданием и дисперсией , где .

Рассматриваются маловероятные события, которые происходят в длинной серии независимых испытаний несколько раз.

Распределение Пуассона, как предельный биномиальный используется при решении задач надежности медицинского оборудования и аппаратуры, распространение эпидемии, вызовов к больному участковых врачей и в других задачах массового обслуживания.

Пример 2

Вакцина формирует иммунитет от некоторого заболевания с вероятностью 0,999. Подверглись вакцинации 4000 жителей города. Какая вероятность того, что двое из них не приобрели иммунитета.

• 

• .

3. Законы распределения непрерывных случайных величин

   1. Нормальный закон распределения (Гаусса)

В биологии и медицине чаще всего рассматривают случаю величине, которые имеют нормальный закон распределения, например, частота дыхания, частота сердечных сокращений, динамика роста популяции и т.п..

Для нормального закона распределения плотность распределения задается уравнением:

где m – математическое ожидание, а σ – среднее квадратичное отклонение ( – дисперсия).

Стандартным нормальным распределением называют распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, плотность распределения которого имеет следующий вид:

Плотность вероятности стандартного нормального распределения имеет вид, представленный на рис. 6.1, функция его распределения представлена на рис. 6.2.

Рис. 6.1. Плотность вероятности стандартной нормальной случайной величины

Рис. 6.2. Функция распределения стандартной нормальной случайной величины

Дисперсия характеризует квадрат рассеивания случайной величины. Для того чтобы получить характеристику рассеивания, которая имеет такую же самую размерность что и случайная величина используют стандартное отклонение

И зменение математического ожидания не изменяет форму кривой, а лишь перемещает ее по оси Х. При изменении дисперсии форма кривой изменяется

Из рисунка видно, что чем большее значение дисперсии, т.е. чем большая степень рассеивания случайных величин, тем более пологой и растянутой становится кривая и наоборот.

Площадь под графиком функции плотности (рис. 6.4.) равняется 1 - это вероятность достоверного события.

Основное количество полученных результатов группируется вокруг наиболее вероятного значения. В практических применение важным есть правило “трех сигм”:

,

Т.е. вероятность того, что нормально распределенная случайная величина отличается от своего математического ожидания больше чем на три сигма приблизительно равняется 0,0027, такое событие есть практически невозможным.