4 Расчет устойчивости системы
Для определения устойчивости системы необходимо найти передаточную функцию системы автоматического управления весового дозатора:
, (24)
где W1(p) – передаточная функция микропроцессора, ,
W2(p) – передаточная функция двигателя с редуктором, ,
W3(p) – передаточная функция ленты, ,
W4(p) – передаточная функция лотка, ,
W5(p) – передаточная функция датчика веса, .
. (25)
Определим устойчивость системы с помощью критерия Ляпунова.
Об устойчивости системы следует судить следующим образом: система управления устойчива в целом, если действительная часть всех корней характеристического уравнения системы отрицательна, если действительная часть хотя бы одного корня положительна, то СУ в целом неустойчива.
Найдем корни характеристического уравнения:
. (26)
Воспользуемся пакетом прикладных программ MathCAD и найдем корни характеристического уравнения:
p1=-3552; p2=-2005; p3=-62.3; p4=-2.73-0.772i; p5=2.73+0.772i; p6=-0.045; p7=-0.024-0.036i; p8=-0.024+0.036i.
Действительные части всех корней отрицательны, следовательно, СУ устойчива.
Для того чтобы определить прямые оценки качества системы построим переходный процесс проектируемой системы.
Построение переходного процесса выполняется на основе обратного преобразования Лапласа от передаточной функции системы автоматического управления в замкнутой форме. Преобразование по Лапласу от передаточной функции системы автоматического управления в замкнутой форме осуществляется в программе MathCAD:
(27)
Графическое представление переходного процесса представлено на рисунке 5.
Определяем прямые оценки качества.
Время переходного процесса с.
Перерегулирование
, (28)
,, (29)
. (30)
Колебательность n =2.
Время нарастания регулируемой величины с.
Время первого согласования с.
Рисунок 5 – Переходный процесс системы
Чтобы определить косвенные оценки качества системы необходимо построить амплитудно-частотную характеристику системы, для этого в передаточной функции заменим p=jω:
, (31)
. (32)
Определим косвенные оценки качества системы.
Показатель колебательности
, (33)
,
А(0)=3,
.
Резонансная частота Гц.
Частота среза Гц.
Полоса пропускания ,
, Гц
Рисунок 6 – Амплитудно-частотная характеристика системы
Поскольку в системе присутствуют дискретные элементы, необходимо провести z-преобразование передаточной функции системы и по z-изображению оценим устойчивость:
, (34)
.
(35)
Исследуем характеристическое уравнение дискретной системы на устойчивость, используя критерий Ляпунова. Дискретная система устойчива тогда и только тогда, ко-гда модули всех корней (полюсов) характеристического уравнения системы меньше 1, т.е. |zi|<1, i=(1,n). Для нахождения корней воспользуемся программой Mathcad.
z1=-0.0355; z2=-0.02; z3=-0.61; z4=-0.027+0.863i; z5=-0.027-0.863i; z6=-0.00041; z7=0.00025-0.038i; z8=0.00025+0.038i.
Условие выполняется, система устойчива.
Рисунок 5 – Переходный процесс дискретной системы
5 ПОСТРОЕНИЕ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ И ФАЗО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИК И ИХ АНАЛИЗ
Построим логарифмическую амплитудо-частотную характеристику. Для этого разомкнем структурную схему по главной обратной связи.
Рисунок 7 – Структурная схема разомкнутой САУ
Передаточная функция разомкнутой системы:
(36)
Используя программу MATLAB получим z-преобразование:
. (37)
Далее необходимо перейти к псевдочастоте, осуществив биполярные преобразования. Для этого производится замена
. (38)
А затем перейдем от ω-изображению к передаточной функции от псевдочастоты, сделав подстановку
, где Т0=20 с - период дискретизации системы.
Такой период дискретизации был выбран с учетом приемлемой скорости опроса датчика микропроцессором.
.
(39)
Рисунок 7 – ЛАЧХ и ЛФЧХ системы
По данному рисунку видно, что данная система нуждается в коррекции.
, (40)
, (41)
,
, (42)
. (43)
. (45)
Определим запасы устойчивости: запас по амплитуде А=167 дБ, запаса по фазе нет.
6 ПОСТРОЕНИЕ ЖЛАЧХ СИСТЕМЫ, ЛАЧХ КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА
Желаемая ЛАЧХ для систем строится, используя номограмму Солодовникова. По номограмме Солодовникова определяем частоту среза по заданному перерегулированию и времени регулирования системы:
σm = 40%,
tp = 70 c.
Рисунок 10 - Номограмма Солодовникова
Определение частоты среза по и по формуле:
рад/с , (46)
. (47)
Определяем запретную зону. Для этого определяем рабочую точку и через нее проводим линию наклоном -20 дБ/дек.
,
где - скорость изменения выходного сигнала,
- ускорение изменения выходного сигнала,
- точность прохождения сигнала.
,
,
,
,
. (48)
Рабочая точка имеет следующие координаты А(0.1; 32.4).
Среднечастотная асимптота ЖЛАЧХ проводится через точку wc с наклоном (-20 дБ/дек), так как при большем наклоне трудно обеспечить необходимый запас устойчивости и допустимое перерегулирование. Основные динамические свойства связаны с длиной этой асимптоты. Для ее определения примем показатель колебательности М = 1.06 , тогда:
, (49)
. (50)
Передаточная функция ЖЛАЧХ (рисунок 11):
Lж=, (51)
,
Lж=. (52)
Рисунок 11 – ЛАЧХ, ЖЛАЧХ и ЛФЧХ системы
Построить ЛАЧХ последовательно-параллельного корректирующего устройства можно по формуле Lку=-(Lж-Lр).
Передаточная функция корректирующего устройства:
Lку=, (53)
Lку=. (54)
Рисунок 12 – ЛАЧХ, ЖЛАЧХ, ЛАЧХ последовательно-параллельного корректирующего устройства, ЛФЧХ системы
