4.1.2 Критерий устойчивости Гурвица. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были поло-жительными.

По коэффициентам характеристического уравнения составляется опреде-литель Гурвица. Для этого по главной диагонали определителя выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго, затем вверх записываются коэффициенты с возрастающим индексом, а вниз с убывающим индексом.

Составленный определитель называется главным определителем Гурвица, он имеет порядок, совпадающий с порядком характеристического уравнения. Из главного определителя составляются частные определители первого, второго, третьего и т.д. порядков их образования из главного определителя.

Вычисляя главный определитель и частные определители, Гурвиц установил, для того, чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители были положительны. Если хотя бы один определитель отрицательный, то система неустойчива.

Расчеты произведем в Mathcad14:

= |0,83| - главный определитель системы

Вывод: все миноры определителя Гурвица положительны, значит, вещественная часть корней характеристического уравнения отрицательна и, согласно теореме Ляпунова, рассматриваемая система автоматического управления устойчива.

4.1.3 Построение переходного процесса, нахождение его пока-зателей качества. По передаточной функции замкнутой системы определим временные характеристики и построим их графики.

Построим график переходного процесса системы с помощью Mathcad14:

t, с

Рисунок 4 - График переходного процесса системы

По графику видно, что система является устойчивой.

Время переходного процесса и время первого согласования определить невозможно. Принимаем их равными 0 секунд.

Переходный процесс является монотонным.

4.1.4 Построение АЧХ, нахождение её показателей качества. Определим амплитудно-частотную функцию замкнутой системы:

Передаточная функция для замкнутой системы:

Частотная передаточная функция замкнутой системы выразится следующим образом (заменяем , где i – мнимая единица):

Построим график АЧХ замкнутой системы, используя программу Mathсad14. Определим косвенные оценки качества по полученным зависимостям:

1/с

Рисунок 5 - АЧХ замкнутой ЛСАУ

ɷ,1/с

По графику видно, что система является устойчивой.

Определим косвенные оценки качества системы.

1) Максимальное значение АЧХ:

2) Показатель колебательности:

3) Резонансная частота:

4) Частота среза:

нет, значит, велико быстродействие системы, то есть очень маленькое время регулирования системы.

5) Полоса пропускания:

Для её определения вычислим сначала величину :

Далее проведём перпендикуляр на ось абсцисс и получим граничные частоты:

4.2 Проверка устойчивости системы с учетом дискретных элементов

4.2.1 Проведение z-преобразований передаточных функций замкнутой и разомкнутой ЛСАУ. Для расчета устойчивости системы с учетом программируемого блока управления шаговыми двигателями необходимо провести Z – преобразование замкнутой передаточной функции непрерывной части.

Передаточные функции замкнутой и разомкнутой системы имеют вид (10) и (16) соответственно.

Z-преобразования проведём по формуле:

где и - показатели цифрового преобразования. В рамках курсовой работы

принимаем их равными 1;

(z-1)/z - фиксатор нулевого порядка;

- передаточная функция импульсной ЛСАУ.

Для проведения z-преобразований передаточных функций замкнутой и разомкнутой системы автоматического управления с импульсным элементом воспользуемся программой Mathсad14, запишем полученные передаточные функции:

4.2.2 Устойчивость системы автоматического управления с импульсным элементом по критерию Шур – Кона. Определим устой-чивость полученной импульсной системы по Критерию Шур - Кона. Для устойчивости импульсной системы необходимо, чтобы коэффициенты характе-ристического уравнения были положительны.

В нашем случае характеристическое уравнение имеет вид:

В характеристическом уравнении все коэффициенты положительны, следовательно, импульсная система устойчива.

4.2.3 Построение переходной функции импульсной системы. Используя программу Mathсad и уравнение передаточной функции замкнутой системы в z – преобразованиях (18) и проведя обратное z – преобразование этой функции, получим выражение для переходной функции импульсной системы:

T = 0.02 c. – время опроса датчика обратной связи.

Рисунок 6 – Переходная функция импульсной системы

Максимальная амплитуда равна 0,83. Следовательно ωр = 0.

- ωср определить невозможно;

- время переходного процесса равно 0,029 с;

- время первого согласования равно 0,014 с;

- время нарастания регулируемой величины равно 0 с;

- колебательность системы равна 1.

1. 5 ПОСТРОЕНИЕ ЛАЧХ СИСТЕМЫ И ЕЕ АНАЛИЗ

Используя программу Mathcad и уравнение передаточной функции разомкнутой системы в z – преобразованиях (19), проведём 𝛌 – преобразование данной функции и далее по нему построим графики ЛАЧХ и ЛФЧХ:

Рисунок 7 - Логарифмическая амплитудо-частотная характеристика импульсной системы

Рисунок 8 - Логарифмическая фазо-частотная характеристика импульсной системы

Определим запасы устойчивости по фазе и амплитуде:

1) по фазе:

2) по амплитуде:

Составим передаточную функцию разомкнутой системы по графику ЛАЧХ:

где к – коэффициент усиления разомкнутой ЛСАУ.

Найдем к:

20lgk=61,77, к=1226.

Перепишем выражение (20) с учетом найденного значения к:

6 ПОСТРОЕНИЕ ЖЛАЧХ СИСТЕМЫ, ЛАЧХ КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА

6.1 Построение ЖЛАЧХ

Построение ЖЛАЧХ начинаем с построения запретной зоны, геометрия которой определяется положением рабочей точки:

где – ускорение;

- скорость перемещения нагрузки;

где – ошибка.

Зададимся скоростью перемещения нагрузки, ускорением и ошибкой соответственно:

Тогда получим координаты рабочей точки в логарифмическом масштабе:

Через эту точку проводим низкочастотную асимптоту с наклоном минус 20Бд/дек (рисунок 11).

По номограмме Солодовникова (Рисунок 9) и заданным в первом этапе перерегулированию, колебательности и времени регулирования определяем частоту:

Далее определяем частоту среза:

Для того чтобы система была устойчива и отвечала заданным критериям качества, необходимо, чтобы через точку на оси абсцисс с координатой ЖЛАЧХ проходила с наклоном минус 20 дБ/дек до пересечения с асимптотами:

Рисунок 9 - Номограмма Солодовникова

В данном случае частота попала в запретную зону. Значит, необходимо сдвинуть вправо до пересечения асимптоты рабочей зоны с осью частот, при этом асимптоту желаемой ЛАЧХ (ЖЛАЧХ) в низкочастотной области проведём по асимптоте рабочей зоны.

За пределами полосы, ограниченной заданной колебательностью, ЖЛАЧХ совпадает по наклону с низкочастотной частью построенной ЛАЧХ.

Из построений можно определить передаточную функцию ЖЛАЧХ (рисунок 10):

где – коэффициент усиления ЖЛАЧХ.

Найдем :

20lg=67, к=3000.

Перепишем выражение (23) с учетом найденного значения :

6.2 Построение ЛАЧХ корректирующего устройства

Рисунок 10 - ЛАЧХ, ЖЛАЧХ системы, ЛАЧХ корректирующего

устройства

Применим параллельное корректирующее устройство (КУ). ЛАЧХ параллельного КУ строится зеркальным отображением относительно желаемой ЛАЧХ.

ЛАЧХ параллельного КУ изображена на рисунке 10.

Из построений можно определить передаточную функцию ЛАЧХ КУ:

где – коэффициент усиления ЛАЧХ КУ.

Найдем :

20lg=-67, =0.0003.

Перепишем выражение (24) с учетом найденного значения :

На основе полученных результатов по атласу проектировщика (Топчеев) нами была выбрана следующую RC – цепочка, зная что при параллельном корректировании Lку = - Lж:

Рисунок 11 - Асимптатическая логарифмическая амплитудная характеристика

Рисунок 12 - Схема корректирующего устройства

Данное корректирующее устройство было выбрано исходя в первую очередь из вида КУЛАЧХ. Однако, как разработчик системы, я не советую вибирать данный тип корректирующего устройства из-за его его масса габаритных характеристик, а выбрать дискретное корректирующие устройство, как одно из самых быстродействующих, надежных и современных на сегодняшний день.