4.3 Определение устойчивости системы с учетом микропроцессора

Для перехода от линейной неизменяемой части системы к системе с микропроцессором необходимо провести z-преобразование передаточной функции системы.

Для проверки устойчивости системы после перехода от линейной к дискретной форме применим критерий Шур-Кона. Данный критерий позволяет анализировать устойчивость дискретных и дискретно-непрерывных систем по характеристическому уравнению замкнутой системы, записанному в форме z - преобразования.

Осуществим z – преобразование, применяя таблицу соответствия изображений.

Рисунок 5 – Структурная схема системы ВЭУ с учетом МП

Предварительно умножив на фиксатор нулевого порядка , получим следующее изображение передаточной функции замкнутой дискретной системы:

, (34)

где - отношение разрядностей ЦАП и АЦП;

T₀ =10^-2 c – время опроса датчика.

Разложим передаточную функцию на простейшие дроби:

(35)

По таблицам соответствия для z-преобразования получим:

(36)

Проведя вычисления, получим:

(37)

Проведем следующее преобразование:

Характеристическое уравнение системы примет вид:

(38)

(39)

(40)

(41)

Согласно данному критерию, если значение определителя с нечетным индексом меньше нуля, а с четным больше нуля, то система является устойчивой. Данное условие выполняется, следовательно, система в дискретной форме является устойчивой.

5 ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДО-ЧАСТОТНОЙ

ХАРАКТЕРИСТИКИ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФАЗО-ЧАСТОТНОЙ ХА

РАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ И ИХ АНАЛИЗ

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ обратимся к общей передаточной функции, так как нет необходимости размыкать систему.

Рисунок 6 – Структурная схема ВЭУ

Передаточная функция системы с учетом обратной связи:

Используем полученную передаточную функцию разомкнутой системы в форме z-преобразования из пункта 4:

Перейдем к псевдочастоте, сделав следующую подстановку:

, где (42)

Тогда, получим передаточную функцию дискретной системы:

(43)

Для построения логарифмических характеристик передаточную функцию разомкнутой системы представляют в виде произведения передаточных функций элементарных звеньев. В некоторых случаях передаточную функцию трудно представить в виде произведения простых сомножителей, тогда построение логарифмических характеристик производится вычислением модуля и аргумента частотной передаточной функции, при различных значениях частоты. Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ, применив редактор Matlab.

>> w=tf([3.38 -500 35000 0 0],[19000 3*10^6 2*10^8 -205*10^7 15*10^10])

Transfer function:

3.38 s^4 - 500 s^3 + 35000 s^2

--------------------------------------------------------

19000 s^4 + 3e006 s^3 + 2e008 s^2 - 2.05e009 s + 1.5e011

>> margin(w), grid.

Рисунок 7 – ЛАЧХ и ЛФЧХ системы ВЭУ

Так как ЛАЧХ не пересекает прямую 0 и ни в одной точке не имеет значение -180º, то запасы устойчивости по фазе и амплитуде определить невозможно. Для приобретения запаса устойчивости и стабильной работы системы необходима коррекция.

6 ПОСТРОЕНИЕ ЖЕЛАЕМОЙ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДО-

ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ

Желаемой называют асимптотическую ЛАЧХ разомкнутой системы, имеющей желаемые (требуемые) статические и динамические свойства. Желаемая ЛАЧХ (ЖЛАЧХ) состоит из трех основных асимптот: низкочастотной, среднечастотной и высокочастотной. Среднечастотная асимптота ЛАЧХ разомкнутой системы и ее сопряжение с низкочастотной определяют динамические свойства системы – устойчивость и показатели качества переходной характеристики.

Поскольку в исходной САУ присутствует дискретное устройство, построение желаемой ЛАЧХ ведется методом запретной зоны.

Построение ЖЛАЧХ начинаем с построения запретной зоны, для чего необходимо найти координаты рабочей точки, для этого нужны следующие данные:

g'=0,2 (м/с) - скорость изменения входной величины,

g''=0,04 (м/с²) - ускорение изменения входной величины,

σ_д=0,05 - допустимая ошибка.

Найдем значение частоты рабочей точки:

с^-1. (44)

Найдем значение амплитуды рабочей точки:

(45)

Через полученные координаты проводим прямую с наклоном -20 дБ/дек. Эта прямая является верхней границей запретной зоны.

По номограмме Солодовникова и заданному в техническом задании желаемому перерегулированию % и времени регулирования c определяем частоту среза:

с^-1. (46)

Рисунок 8 – Номограмма Солодовникова

По заданной колебательности найдем среднечастотную область построения ЖЛАЧХ. Верхней границе этой области соответствует значение дБ, нижней – .

Наклон ЖЛАЧХ в среднечастотной области должен быть -20 дБ/дек, поэтому через частоту среза в этой области проводим прямую с наклоном -20 дБ/дек. В высокочастотной области ЖЛАЧХ сопрягается с исходной ЛАЧХ, то есть будет иметь такие же наклоны. Низкочастотная область не имеет большого значения, поэтому достраивается по исходной либо произвольно. Полученная ЖЛАЧХ показана на рисунке 9.

Для улучшения параметров системы в ней необходимо установить последовательное корректирующее устройство.

Построить ЛАЧХ корректирующего устройства можно с помощью графического вычитания реальной ЛАЧХ из желаемой ЛАЧХ, полученная ЛАЧХ корректирующего устройства показана на рисунке 9.

Рисунок 9 – ЛАЧХ, ЖЛАЧХ, ЛАЧХ корректирующего устройства