4 Расчет устойчивой системы

Преобразуем функциональную схему, представленную в соответствии с рисунком 1, в структурную схему на основе передаточных функций полученных в пункте 2. Структурная схема локальной системы регулирования капельного орошения почвы представлена на рисунке 4.

Рисунок 4 - Структурная схема локальной системы регулирования капельного орошения почвы

Передаточная функция микропроцессора:

W₀ (p)=1, (27)

Передаточная функция питательного насоса:

, (28)

Передаточная функция задвижки:

W₂ (p) = 0,0124, (29)

Передаточная функция фильтра:

(30)

Передаточная функция трубопровода:

, (31)

Передаточная функция датчика давления:

. (32)

Найдем общую передаточную функцию с помощью программы Mathcad.

, (33)

Следовательно

. (34)

Определим устойчивость системы по критерию по Гурвицу. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все миноры определителя Гурвица были положительными.

Характеристического уравнения системы имеет вид:

. (35)

Коэффициенты характеристического уравнения:

,

.

Все коэффициенты характеристического уравнения положительные. Значит, необходимое условие устойчивости выполняется.

Составим определитель Гурвица. Для этого по главной диагонали определителя выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго, затем вверх записываются коэффициенты с возрастающим индексом, а вниз с убывающим индексом. Из главного определителя составляются частные определители, начиная с первого до порядка характеристического уравнения.

Главный определитель имеет вид:

. (36)

Определим значение первого минора:

(37)

Определим значение второго минора:

(38)

Определим значение третьего минора:

(39)

Определим значение четвертого минора:

, (40)

Все миноры определителя Гурвица положительны, следовательно, данная система регулирования устойчива.

Построим переходный процесс. Для того чтобы построить переходный процесс, используем обратное преобразование Лапласа от функции вида :

. (41)

Используя прикладную программу MathCAD, найдем вид переходной функции:

. (42)

Построим график переходного процесса с помощью программы MathCAD:

t, c

Рисунок 5 – График переходного процесса системы регулирования капельного орошения почвы

Определим прямые оценки качества системы:

- время первого согласования t_c - время, за которое переходный процесс первый раз достигает ,

- время нарастания регулируемой величины – время, при котором выходная величина достигает своего максимального значения,

- установившееся состояние переходного процесса h_уст=0,0211;

- время переходного процесса t_р - время регулирования системы, которое определяется как интервал времени от момента приложения какого-либо воздействия до времени вхождения в пяти процентную трубку (). Определяет быстродействие системы, t_р= 110с;

- перерегулирование . По техническому заданию, , следовательно, истинное перерегулирование совпадает с заданным.

Построим амплитудно-частотную характеристику. Амплитудно-частотная характеристика – модуль амплитудно-фазовой характеристики или отношение амплитуды выходной величины системы к амплитуде входной величины.

Найдем амплитудно-частотную характеристику системы. Амплитудно-частотная характеристика вычисляется по формуле:

(43) . (44)

Заменим в общей передаточной функции p = i c помощью программы

MathCAD. Получим:

.

Г

рафик амплитудно-частотной характеристики имеет вид, представленный на рисунке 6.

Рисунок 6 – График амплитудно-частотной характеристики системы регулирования капельного орошения почвы

Определим косвенные оценки качества системы:

- амплитуда при нулевой частоте, А₀ = 0,0087;

- максимальная амплитуда, А_max = 0,0024;

- резонансная частота определяется как частота, при которой АЧХ достигает максимального значения A_max, ;

- полоса пропускания – время наилучшего прохождения сигнала по системе. Для ее определения вычисляется величина , тогда полоса пропускания будет от 1 до 1,27.

Проведем Z - преобразования, используя прикладную программу Matlab:

>> w = tf([19 21],[2,6*10^2 6,9*10^3 5,5*10^4 1,3*10^5 8*10^8])

>> w1 = c2d(w,3,zoh),

где w - переходная функция непрерывной системы,

w1 - переходная функция дискретной системы,

3 – период дискретизации,

zoh - соответствует применению экстраполятора нулевого порядка.

Получим следующую передаточную функцию, записанную в MathCAD.

.

Определим устойчивость импульсной системы с помощью критерия Шур-Кона. В соответствии с критерием Шур-Кона система будет устойчивой, если определители Δ_к больше 0 для четных к и определители Δ_к меньше 0 для нечетных к.

Определители Шур-Кона составляются из коэффициентов характеристического уравнения.

Общий вид определителей имеет вид:

(45)

где к=1,2,…,n;

а₁, а₂,…,а_n - значения коэффициентов характеристического уравнения;

a₁^*,a₂^*,…,a_n^* - сопряженные значения коэффициентов а₁, а₂,…,а_n.

Характеристическое уравнение системы имеет вид:

(46)

Коэффициенты характеристического уравнения:

а₀ = 1,

а₁ = 0,17,

а₂ =

а₃ =

а₄ =

а₅ = 2,01,

а₆ =

а₇ =

Составим определители :

(47)

(48)

(49)

(50)

Первые четыре определителя соответствуют критерию устойчивости Шур-Кона, следовательно, система устойчивая.

Построим переходный процесс импульсной системы с помощью программы Matlab.

>> w = tf([19 21],[2.6*10^2 6,9*10^3 5,5*10^4 1,3*10^5 8*10^8]),

>> w1 = c2d(w,3,zoh),

>> step(w1).

Переходный процесс импульсной системы имеет следующий вид:

t, c

Рисунок 7 – График переходного процесса импульсной системы регулирования капельного орошения почвы

Определим прямые оценки качества системы:

- время первого согласования t_c - время, за которое переходный процесс первый раз достигает ,

- время нарастания регулируемой величины – время, при котором выходная величина достигает своего максимального значения,

- установившееся состояние переходного процесса h_уст=0,0211;

- время переходного процесса t_р - время регулирования системы, которое определяется как интервал времени от момента приложения какого-либо воздействия до времени вхождения в пяти процентную трубку (), t_р= 110с;

- перерегулирование . По техническому заданию, , следовательно, истинное перерегулирование совпадает с заданным.

По результатам расчетов данного пункта можно сделать вывод, что время регулирования t_р= 110 с отклоняется от заданного на 1%, а перерегулирования на 3% меньше заданного. Следовательно, параметры данной локальной системы регулирования удовлетворяют значениям, приведенным в техническом задании. Таким образом, введение корректирующих устройств не требуется.