2.5 Решение задачи по уравнению Лагранжа второго рода

Уравнения Лагранжа второго рода являются дифференциальными уравнениями движения механической системы в обобщенных координатах:

(2.36)

где Т - кинетическая энергия системы в абсолютном движении, выраженная в обобщенных координатах;

- i-я обобщенная координата;

- i-я обобщенная скорость;

- обобщенная сила по i-й обобщенной координате;

n - число степеней свободы системы.

Эти уравнения являются дифференциальными уравнениями второго порядка относительно обобщенных координат, дифференциальными уравнениями первого порядка относительно обобщенных скоростей и алгебраическими линейными уравнениями относительно обобщенных ускорений.

Уравнения Лагранжа можно получить из общего уравнения динамики системы, переходя в последнем к обобщенным координатам.

Число независимых уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы механической системы.

Поскольку в общем уравнении динамики содержатся работы трех групп сил: активных, реакций связей и сил инерции, а правая часть уравнения Лагранжа представляет собой обобщенную силу, которая рассчитывается через работы только двух групп сил: активных и реактивных связей, то, следовательно, работы сил инерции записаны в левой части уравнения Лагранжа в виде:

(2.37)

2.5.1 Система имеет одну степень свободы. Обобщенная координата S.

2.5.2 Уравнение Лагранжа имеет вид:

. (2.38)

2.5.3 Кинетическая энергия системы

. (2.39)

Тело 1 совершает поступательное движение

. (2.40)

Тело 2 вращается вокруг оси, проходящей через центр масс этого тела и перпендикулярной плоскости симметрии:

. (2.41)

Тело 3 совершает плоское движение:

. (2.42)

. (2.42)

Проведем сравнение в таблице 3 этих результатов с расчетами работ сил инерции, которые проведены при составлении общего уравнения динамики.

Таблица 2 – Результаты сравнения

№ тела	Коэффициент при квадрате обобщенной скорости в выражении кинетической энергии		Коэффициент при ускорении в выражениях работы сил и моментов сил инерции
1	(в поступательной части плоского движения) (во вращательной части плоского движения)		9m(в работе главного вектора сил инерции) (в работе главного момента сил инерции)
2			1,125m
3 4	(в поступательной части плоского движения) m(во вращательной части плоского движения)		(в работе главного вектора сил инерции) 2m(в работе главного момента сил инерции)

Кинетическая энергия системы равна

(2.43) (2.52)

. (2.44)

2.5.4 Вычислим производные:

(2.45)

так как координата S не входит в выражение T.

. (2.46)

2.5.5 Выполним рисунок 9 и расставим силы и моменты сил

Рисунок 7- Расстановка сил и моментов сил для

решения по уравнению Лагранжа

2.5.6 Вычислим сумму работ

(2.47)

2.5.7 Тогда уравнение Лагранжа примет вид:

(2.48)

= = 0,0766 м/с² (2.49)

Сократим на m, а из числителя вынесем g и подставим значения

= 0,0766 м/с² см/c² (2.50)

Теперь найдем скорость.

Внешние силы, действующие на механическую систему, постоянные, поэтому движение системы равнопеременное.

Для расчета скорости центра масс тела 1 в тот момент времени , когда он переместится на заданное расстояние S, используем закон равнопеременного движения при начальной скорости, равной нулю

см/c² (2.51)