Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

VII Кратные интегралы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

1.47 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

VII. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Теоретические вопросы

1.Определение двойного и тройного интегралов. Их геометрический и физический смысл.

2.Основные свойства двойных и тройных интегралов.

3.Теорема о среднем для двойного и тройного интегралов.

4.Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями

(случай прямоугольной области).

5. Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями

(общий случай).

6.Замена переменных в двойном интеграле.

7.Якобиан, его геометрический смысл.

8.Двойной интеграл в полярных координатах.

9.Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

10.Тройной интеграл в сферических координатах.

Теоретические упражнения

1. Пользуясь определением двойного интеграла, доказать, что

xm y n dxdy 0 ,

x2 y2 R2

если m и n - натуральные числа, и, по меньшей мере, одно из них нечетно.

2. С помощью теоремы о среднем найти

lim	1		f x, y dxdy ,

	R	2
R 0
			x2 y 2 R 2

где f x, y	- непрерывная функция.
3. Оценить интеграл
				dxdydz					, x02	y02	z02	R 2 ,


	2 y 2 z 2 R 2	x x	2	y y		2	z z	2
			2			2		2
x			0		0			0
			0		0			0

т.е. указать, между какими значениями заключена его величина.

4. Вычислить двойной интеграл

x, y

dxdy ,

если область D - прямоугольник { a

d }, а f

x, y

Fxy

x, y .

Доказать равенство

f x

y dxdy

x dx

dy б

если область D - прямоугольник { a

d }.

Доказать формулу Дирихле

dx f x, y dy

dy f x, y dx ,

a 0 .

Пользуясь формулой Дирихле, доказать равенство

dy f

dx .

Какой из интегралов больше

1 x

x y

dy f

x, y, z

или

x, y, z

dz ,

если f

x, y, z

0 ?

Расчетные задания

Задача 1. Изменить порядок интегрирования.

	1			0														0			0											1					0									2		0
1.1.	dy										f		dx					dy									f		dx .			1.2.	dy							f		dx				dy								f			dx .
	2																	1														0													1
	2			2					y									1							y							0							y						1							y

																			2 y 2
			y																																		y										2 y
1			y											2																		1					y								2		2 y
1.3.	dy			f				dx								dy								f		dx .						1.4.	dy						f		dx				dy							f		dx .
0		0												1				0														0	0												1	0

	1						0											0			0											1	2				arcsin y											1							arccos y
1.5.			dx										f	dy					dx						f			dy .				1.6.			dy									f	dx							dy							f dx .
																		1						x									0				0																				0
	2							2 x			2							1						x									0				0									1		2									0
								2 x

	1	2					y										0						y									1					0								e			ln y
1.7.	dy								f		dx							dy						f			dx .					1.8.	dy							f		dx				dy						f			dx .
	2			0													1				0											0													1			1
	2			0													1				0											0						y							1			1

						2 x2																	x2
	1					2 x2												0					x2										3								0					0											0
1.9.			dx								f		dy						dx						f			dy .				1.10.				dx									fdy					dx									fdy .
							0											1			0												2
	2						0											1			0												2								4	x	2					3						4			x	2	2
																																									4	x												4			x		2

	1			1													e				1												1				3 y								2	2			y
1.11.		dx							f			dy						dx						f			dy .					1.12.		dy						f		dx				dy						f		dx .
	0		1 x2														1			ln x													0				0								1			0
		4			sin y													2					cos y										1				0									0		0
1.13.			dy								f		dx						dy								f		dx..			1.14.			dx							f			dy		dx								f		dy .
	0						0											4			0												2				2				x					1					3
	0						0											4			0												2				2				x					1					3		x

	1				y											e		1															1				0									2		0
1.15.		dy						f			dx						dy						f		dx .							1.16.		dy							f		dx			dy										f		dx .
	0			0										1					ln y														0													1
	0			0										1					ln y														0							y						1		2						y
																																					y 2									2			y
	1			0										2							0												1				y 2								2	2			y
1.17.		dy						f			dx							dy									f		dx .			1.18.		dy						f		dx				dy						f		dx .
	0				y									1																			0				0								1			0
	0				y									1									2 y 2										0				0								1			0
																																	1				0									0		0
	3						0											2									0						1				0									0		0
1.19.			dx										f		dy							dx									f dy .	1.20.			dy								f		dx			dy								f	dx .

	0					4 x				2	2							3									4		x	2			2				2				y					1						3 y
						4 x					2																4		x

	1			y							e	1															x2								2 x2
	1			y							e	1											1				x2					2			2 x2
1.21.	dy					f dx						dy			f		dx .					1.22.		dx					f	dy				dx			f	dy .
	0			0							1		ln y										0				0					1			0
	4			sin x								2				cos x							1							0					0			0
1.23.		dx							f dy				dx					f		dy .		1.24.				dy						f dx					dy f			dx .
	0			0								4					0																		1			y
	0			0								4					0						2							2 y	2				1			y
																														2 y
				x2
	1										2		2 x														2 4 x2											4 x2
	1										2		2 x										3				2 4 x2								2			4 x2
1.25.	dx						f		dy			dx				f	dy .					1.26.			dx							f dy				dx			f	dy .
	0			0							1	0											0				0											0
	0			0							1	0											0				0								3			0

																																			2 x2
	1			0								2		0									1				x					2			2 x2
1.27.	dx							f	dy				dx					f	dy .			1.28.		dx					f	dy			dx				f	dy .
	0											1											0				0					1			0
	0					x						1		2			x						0				0					1			0

															2 y 2
					y
	1				y							2											1					x				2			2 x
1.29.	dy							f	dx				dy					f		dx .		1.30.		dx					f	dy			dx				f	dy .
	0			0								1		0									0				0					1			0

									x2											4 x2
	3			4					x2			0					2			4 x2
1.31.			dx							f dy						dx					f	dy .
	2			0															0
	2			0										3					0

Задача 2. Вычислить.

		12 x 2 y 2			16 x3 y 3
2.1.	D
	D :	x	1,	y	x 2 , y
		36 x 2 y 2			96 x3 y 3
2.3.	D

	D :	x	1,	y	3 x , y
		27 x 2 y 2			48 x3 y 3
2.5.	D
	D :	x	1,	y	x 2 , y

dxdy;		9 x 2 y 2	48 x3 y 3		dxdy;
2.2.		D
					x 2 .
	x .	D : x 1, y		x , y
dxdy;		18 x 2 y 2	32 x3 y 3		dxdy;
2.4.		D
x3 .		D : x 1, y x3 , y
					3 x .
dxdy;		18 x 2 y 2	32 x3 y 3		dxdy;
2.6.		D
					x 2 .
3 x .		D : x 1, y	3 x , y

18 x 2 y 2

32 x3 y 3

dxdy;

27 x 2 y 2

48 x3 y 3

dxdy;

2.7.

2.8.

D : x 1, y x3 , y

x3 .

x .

D : x 1, y

x , y

4 xy

3x 2 y 2

dxdy;

12 xy

9 x 2 y 2

dxdy;

2.9.

2.10.

D : x 1, y x 2 , y

x 2 .

x .

D : x 1, y

x , y

8 xy

9 x 2 y 2 dxdy;

24 xy

18 x 2 y 2

dxdy;

2.11.

2.12.

x3 .

D : x 1, y x3 , y

D : x 1, y

3 x , y

3 x .

12 xy

27 x 2 y 2

dxdy;

8 xy

18 x 2 y 2

dxdy;

2.13.

2.14.

D : x 1, y x 2 , y

x 2 .

3 x .

D : x 1, y

3 x , y

x 2 y 2

dxdy;

9 x 2 y 2

dxdy;

2.15.

D 5

2.16.

D 5

D : x 1, y x3 , y

x3 .

x .

D : x 1, y

x , y

24 xy

48 x3 y 3

dxdy;

6 xy

24 x3 y 3

dxdy;

2.17.

2.18.

D : x 1, y x 2 , y

x 2 .

x .

D : x 1, y

x , y

4 xy

16 x3 y 3 dxdy;

4 xy

16 x3 y 3

dxdy;

2.19.

2.20.

x3 .

D : x 1, y x3 , y

D : x 1, y

3 x , y

3 x .

44 xy

16 x3 y 3 dxdy;

4 xy

176 x3 y 3

dxdy;

2.21.

2.22.

D : x 1, y x 2 , y

x3 .

3 x .

D : x 1, y

3 x , y

xy 4 x3 y 3

dxdy;

4 xy

176 x3 y 3

dxdy;

2.23.

2.24.

D : x 1, y x3 , y

x3 .

x .

D : x 1, y

x , y

6 x 2 y 2

x 4 y 4

dxdy;

2.25.

D : x 1, y x 2 , y

x .

3x 2 y 2

x 4 y 4

dxdy;

2.27.

x3 .

D : x 1, y

3 x , y

54 x 2 y 2

150 x 4 y 4

dxdy;

2.29.

D : x 1, y x 2 , y

3 x .

54 x 2 y 2

150 x 4 y 4

dxdy;

2.31.

D : x 1, y x3 , y

x .

Задача 3. Вычислить.

ye xy / 2 dxdy;

3.1. D

D : y ln 2, y ln 3, x 2, x 4.

y cos xy dxdy;

3.3.	D
	D : y	/ 2, y	, x 1, x 2.
	y sin xy dxdy;
3.5.	D
	D : y	/ 2, y	, x 1, x 2.
	4 ye2 xy dxdy;
3.7.	D			1
	D : y	ln 3, y	ln 4, x	1	, x 1.
	D : y	ln 3, y	ln 4, x	2	, x 1.
				2

	9 x 2 y 2	25 x 4 y 4		dxdy;
2.26.	D
				x 2 .
	D : x 1, y		x , y	x 2 .
	9 x 2 y 2	25 x 4 y 4		dxdy;
2.28.	D
	D : x 1, y x3 , y
	D : x 1, y x3 , y			3 x .
	xy 9 x5 y 5 dxdy;
2.30.	D
				x 2 .
	D : x 1, y	3 x , y		x 2 .

	y 2 sin	xy	dxdy;
	y 2 sin		dxdy;
3.2. D	2
3.2. D
D : x 0, y				, y	x	.
					x
					2
					2

y 2 e xy / 4 dxdy;

3.4.

D : x

0, y

2, y

y 2 cos

dxdy;

3.6.

D : x 0, y

2 , y

x 2.

4 y 2 sin xy dxdy;

3.8.

D : x

0, y

y cos 2 xy dxdy;

3.9. D				1
D : y		, y	, x		, x 1.
	2			2

12 y sin 2 xy dxdy;

3.11. D

D : y		, y		, x 2, x 3.

4 2

ye xy / 4 dxdy;

3.13.	D
	D : y	ln 2, y			ln 3, x				4,			x	8.
	2 y cos 2 xy dxdy;
3.15.	D
	D : y			, y		, x	1,		x			2.
	D : y	4		, y	2	, x	1,		x			2.
		4			2
	y sin xy dxdy;
3.17.	D							1
	D : y		, y 2 , x					1	, x 1.
	D : y		, y 2 , x				2		, x 1.
							2
	8 ye4 xy dxdy;
3.19.	D									1				1
	D : y ln 3, y ln 4, x									1	, x			1	.
	D : y ln 3, y ln 4, x								4		, x		2		.
									4				2
	y cos xy dxdy;
3.21.	D
	D : y		, y 3 , x 1 2 , x 1.
	y sin 2 xy dxdy;
3.23.	D

y 2 e xy / 8 dxdy;

3.10.	D					x
	D : x	0,	y	2, y		x	.
	D : x	0,	y	2, y		2	.
						2
	y 2 cos xy dxdy;
3.12.	D
	D : x	0,	y		, y		x.
	D : x	0,	y		, y		x.

y 2 sin 2 xy dxdy;

3.14.

D : x 0, y

2 , y 2 x.

y 2 e xy / 2 dxdy;

3.16.

D : x

0, y

2 ,

y 2 cos 2 xy dxdy;

3.18.

D : x

0, y

3 y 2 sin

dxdy;

3.20.

D : x 0, y

, y

y 2 e xy / 2 dxdy;

3.22.

D : x

0, y

1, y

y 2 cos xy dxdy;

3.24. D

D : y

2 , y 3 2 , x 1 2 , x 2.

D : x 0, y

, y 2 x.

6 ye xy / 3 dxdy;

y 2 sin

dxdy;

3.25.

3.26.

D : y

ln 2, y

ln 3, x

3, x

D : x

0, y

, y x.

y cos 2 xy dxdy;

y 2 e xy / 8 dxdy;

3.27.

3.28.

D : y

2 , y 3 2 , x 1 2 , x 2.

D : x 0, y 4, y 2 x.

3 y sin xy dxdy;

y 2 cos

dxdy;

3.29.

3.30.

D : y

2 , y 3 , x 1, x 3.

D : x 0, y

2 , y 2 x.

12 ye6 xy dxdy;

3.31.

D : y

ln 3, y

ln 4, x

1 6 , x

1 3.

Задача 4. Вычислить.

	2 y 2 e xy dx dy dz;				x2 z sin xyz			dx dy dz;
	V				V
4.1.	x 0, y 1, y x,			4.2.	x 2, y			, z 1,
	x 0, y 1, y x,				x 2, y			, z 1,
	V				V
	z	0, z	1.		x	0, y	1, z		0.
	y 2 ch 2 xy		dx dy dz;		8 y 2 z e2 xyz		dx dy dz;
	V				V
4.3.	x	0, y	2, y 4 x,	4.4.	x	1, y		2, z	1,
	x	0, y	2, y 4 x,		x	1, y		2, z	1,
	V				V
	z	0, z	2.		x	0, y	0, z		0.
	x 2sh 3xy		dx dy dz;		y 2 z cos xyz			dx dy dz;
	V				V
4.5.	x 1, y 2 x, y 0,			4.6.	x 1, y 2 , z 2,
	x 1, y 2 x, y 0,				x 1, y 2 , z 2,
	V				V
	z	0, z	36.		x	0, y	1, z		0.

	y 2 cos		xy dx dy dz;
	y 2 cos		xy dx dy dz;
	V	4
4.7.	V
	x	0, y	1, y x 2 ,
	V		2 .
	z	0, z	2 .

y 2 e xy dx dy dz;

	V
4.9.	x	0, y		2, y			4 x,
	x	0, y		2, y			4 x,
V
	z	0, z	1.
	y 2 ch 2 xy				dx dy dz;
	V
4.11.	x	0,	y	1,		y	x,
	x	0,	y	1,		y	x,
	V
	z	0, z		8.
	y 2 e xy 2		dx dy dz;
	V
4.13.	x	0, y		2, y			2 x,
	x	0, y		2, y			2 x,
	V
	z	0, z		1.
	y 2 cos		xy			dx dy dz;

			2
	V		2
4.15.	V
	x	0,	y			1, y	x,
	V					2 .
	z	0, z		2		2 .
	y 2 cos		xy			dx dy dz;
	V
4.17.	x	0, y		1, y			2 x,
	x	0, y		1, y			2 x,
	V					2 .
	z	0,	z			2 .
	x2sh 2 xy			dx dy dz;
	V
4.19.	x	1, y				x, y	0,
	x	1, y				x, y	0,
	V
	z	0, z		8.

x2 z sin

xyz

dx dy dz;

4.8.

1, y

2 , z

0, y

0, z

2 y 2 z e2 xyz

dx dy dz;

4.10.

0, y

0, z

x2 z sh

xyz

dx dy dz;

4.12.

0, y

0, z

y 2 z cos

xyz

dx dy dz;

4.14.

0, y

0, z

x2 z sh

xyz

dx dy dz;

4.16.

1, z

0, y

0, z

2 x2 z sh 2xyz

dx dy dz;

4.18.

2, y

1 2 , z

1 2 ,

0, y

0, z

x2 z sin

xyz

dx dy dz;

4.20.

0, y

0, z

	y 2 ch xy			dx dy dz;
V
4.21.	x	0, y			1, y	x,
V
	z	0, z	2.

	x 2 cos			xy	dx dy dz;

4.23. V		2
	x	2, y		x, y		0,
V
	z	0, z			.

	x2 cos		xy		dx dy dz;
V
4.25.	x	1, y		2 x, y		0,
V
	z	0, z	4 .

y 2 ch 3xy dx dy dz;

	V
4.27.	x	0, y	2, y 6 x,
	x	0, y	2, y 6 x,
	V
	z	0, z	3.

	x2sin 4		xy dx dy dz;
	V
4.29.	x	1, y	x 2 , y	0,
	x	1, y	x 2 , y	0,
	V
	z	0, z	8 .
	x2sh	xy	dx dy dz;
	V
4.31.	x	2, y	x 2 , y	0,
	x	2, y	x 2 , y	0,
	V
	z	0, z	1.

Задача 5. Вычислить.

x 2 z ch

xyz

dx dy dz;

4.22.

1, y

0, y

0, z

y 2 z cos

xyz

dx dy dz;

4.24.

9, y

1, z

2 ,

0, y

0, z

y 2 z ch

xyz

dx dy dz;

4.26.

2, y

1, z

0, y

0, z

2 y 2 z ch

2 xyz

dx dy dz;

4.28.

0, y

0, z

8 y 2 z e xyz

dx dy dz;

4.30.

2, y

1, z

0, y

0, z

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.08.201996.77 Кб0Ustav_GBU_s_vnebyudzhetkoykoy_1.doc
#
25.04.20192.65 Mб152vasutin_psihohirurgia.doc
#
07.12.20182.26 Mб6Vereshagin_I_A__Vosstanovlen.doc
#
28.03.20157.11 Mб2Vesna-leto2015.pdf
#
02.08.2019530.94 Кб0VFP_Lektsii_Full_Version.doc
#
13.02.20151.47 Mб11VII Кратные интегралы.pdf
#
17.11.2019534.53 Кб3Vika.doc
#
11.03.2016159.63 Кб23Vinogradov_V_V_O_teorii_khudozh_rechi.docx
#
19.07.2019104.45 Кб2Vnutrennyaya_politika_Alex_1.doc
#
13.02.2015497.15 Кб147Voprosy_k_ekzamenu.doc
#
25.09.2019320.51 Кб16Voprosy_k_ekzamenu_po_filosofii_Zhurnalisty-2-1...doc