2.4 Решение задачи по общему уравнению динамики

2.4.1.Теория.

Общее уравнение динамики составляется в результате последовательного применения принципа Даламбера для системы и принципа возможных перемещений. Оно записывается в виде равной нулю суммы работ трех групп сил: активных, реакций связей и сил инерции на любом возможном перемещении, задаваемом из положения системы в рассматриваемый момент времени:

или

где - активная сила, действующая на k-тую точку системы;

- реакция связей, приложенная к k-той точке;

- сила инерции k-той точки;

- радиус-вектор k-той точки относительно начала координат

- число точек системы.

Число независимых общих уравнений динамики для системы равно числу степеней свободы системы.

Механическая система состоит из бесконечного числа точек, поэтому имеет и бесконечное число сил инерции этих точек. Необходимо привести силы инерции к выбранному центру и получить одну силу, равную главному вектору сил инерции, и одну пару сил, векторный момент которой равен главному моменту сил инерции относительно выбранного центра приведения.

В динамике за центр приведения чаще всего выбирают центр масс. Главный вектор Ф сил инерции не зависит от центра приведения и всегда вычисляется по формуле:

, (2.23)

где - масса всей системы;

- вектор ускорения центра масс системы.

Главный момент сил инерции относительно центра приведения 0 вычисляется по проекциям на оси координат .

При поступательном движении тела центр приведения выбираем в центре масс С и имеем

(2.24)

Во вращательном движении, если выполняются два условия:

1. тело имеет плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения;

2. центр приведения выбирается в этой плоскости симметрии, то главный момент сил инерции параллелен оси вращения и вычисляется по одной проекции на эту ось:

(2.25)

где О - центр приведения;

J_оz - момент инерции относительно оси, проходящей через центр приведения О и параллельной оси вращения Z;

ε - угловое ускорение тела.

Можно выбирать любую точку за центр приведения, но в большинстве задач дина­мики рекомендуется выбирать центр масс С за центр приведения: решение задач получается более простым, при этом главный вектор сил инерции по-прежнему вычисляется по формуле

(2.26)

а момент сил инерции относительно точки С при выполнении указанных выше двух условий вычисляется по формуле

(2.27)

где С - центр приведения и центр масс тела;

J_cz - момент инерции тела относительно оси СZ;

ε - угловое ускорение тела.

2.4.2 Решение.

Система имеет одну степень свободы. Действительно, если задержать тело 1, которое движется поступательно и прямолинейно, т.е. если убрать одну степень свободы у системы, то вся система остановится, следовательно, при движении эта система имеет одну степень свободы.

Вводим обобщенную координату для того тела в системе, ускорение которого необходимо определить, т.е. для тела 1. Начало отсчета координаты связываем с неподвижной точкой и возрастание координаты выбираем в направлении движения тела. Обозначим обобщённую координату S, а её возможное приращение - .

На рисунке изображены активные силы и реакции связей

Рисунок 6 - Активные силы и реакции связей

На систему действуют активные силы .

Реакция шероховатой поверхности по которой катится тело1:

Реакции шероховатой поверхности, по которой движется тело 4:

Реакции шарнира: .

.3 Силы инерции поступательно движущегося тела 1 приводим к его центру масс, получаем главный вектор инерции .

Силы инерции вращающегося тела 2 приводим к его центру масс. Главный вектор сил инерции этого тела равен 0, а главный момент сил инерции относительно центра масс параллелен оси вращения, так как для этого выполняются оба условия. Следовательно, рассчитываем главный момент (векторную величину) по одной проек­ции на ось вращения, которую обозначаем .

Силы инерции колеса, совершающего плоское движение, приводим к центру масс колеса, получаем главный вектор сил инерции и главный момент относительно центра масс, который, рассчитываем по одной проекции па ось вращения, проходящей через центр масс колеса. Главный момент обозначаем .

Выберем возможное перемещение тела 1 в направлении возрастания обобщенной координаты S. Напоминаю, также что - бесконечно малая величина, однако для наглядности на рисунке 6 она показывается конечным перемещением.

Для составления общего уравнения динамики используем следующие формулы возможных работ:

1. силы, приложенной к материальной точке или к телу, движущемуся поступательно,

,

где - проекция силы на вектор возможной скорости точки приложения силы;

2. силы, приложенной к вращающемуся вокруг оси z телу,

,

3. силы, приложенной к телу, совершающему плоское движение,

,

где РZ - ось вращения, проходящая через точку Р - МЦС;

4. силы тяжести,

где - возможное перемещение точки приложения силы по вертикали.

Общее уравнение динамики, в нашем случае, будет иметь вид:

(2.20)

Кинематический расчет

Для тела 1: , , , (2.21)

Для тела 2: на основании законов вращательного движения тела вокруг оси

, , (2.22)

Для тела 3: (2.23)

V₃=2V₁, a₃=2a₁, =2

Для тела 4:

V_С4=2V₁, a_C4=2a₁, =2, , , (2.24)

Расчет сил инерции и моментов сил инерции по абсолютной величине, т.е. модулей этих величин:

1. , (2.25)

, (2.26)

(2.27)

2), (2.27)

3) , (2.28)

4), (2.29)

, (2.30)

, (2.31)

4 = 2ma₁; 4=mR₄; 4=4F_кач.mg cosβ (2.32)

Подставим это в общее уравнение динамки

(2.33)

Разделим левую и правую часть на и выразим ускорение

= = 0,0766 м/с² (2.34)

Внешние силы, действующие на механическую систему, постоянные, поэтому движение системы равнопеременное.

Для расчета скорости центра масс тела 1 в тот момент времени, когда он переместится на заданное расстояние S, используем закон равнопеременного движения при начальной скорости, равной нулю

м/c (2.35)