1.3 Решение задачи на эвм

2.Динамика механической системы

2.1 Условие

Механическая система движется под действием сил тяжести первого тела. Массами нитей пренебречь. Силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Диск (каток, колесо) считать сплошным однородным телом, если радиус инерции для него не задан. Все тела в системе абсолютно твердые. Нити нерастяжимые.

1. Скорость центра масс тела 1 в тот момент времени, когда он переместиться на расстояние S.

2. Ускорение центра масс тела 1

Задачу решить тремя способами:

- по теореме об изменении кинетической энергии системы. Проверить результаты расчета кинетической энергии отдельных тел и всей системы, а также работ внешних сил и моментов сил на компьютере в вычислительной лаборатории на кафедре теоретической механики;

- по общему уравнению динамики;

- по уравнению Лагранжа. Провести сравнение коэффициентов в выражении кинетической энергии отдельных тел системы с коэффициентами в выражениях работы сил и моментов сил инерции этих тел соответственно.

2.2 Исходные данные и рисунок

Дано: M₁ = 9m, M₂ = m/2, M₃ = 3m, M₄ = m/4, R₂ = 0,20 , i₂ = 0,15 , α = 30⁰, β = 30⁰ , f_кач. = 0,25 см, S = 2м.

.

Тело 4 состоит из 4 колёс.

R₁ = 0,15м; R₄ = 0,15м; r₂ = 0,5R₂

Рисунок 4 – Расчетная схема

2.3Решение по теореме об изменении кинетической энергии.

2.3.1Теория

По теореме об изменении кинетической энергии системы

T – T₀ = ∑ + ∑ ,

Где T, T₀- кинетическая энергия системы в конце и в начале перемещения центра масс тела 1 из состояния покоя на расстояние S;

∑ - сумма работ внешних сил и моментов сил на том же перемещении;

∑ - сумма работ внутренних сил и моментов сил на том же перемещении.

По условию задачи T₀ = 0, так как система приходит в движение из состояния покоя;

∑ =0, так как тела в системе абсолютно твёрдые и относительное движение тел в системе отсутствует (нити нерастяжимые, подшипники без трения, качение тел по поверхностям и нитям без скольжения).

Кинетическая энергия системы T в конце перемещения равна сумме кинетических энергий отдельных тел:

T = T₁+T₂+T₃+4T_4.

Для расчёта кинетической энергии тел используются следующие формулы:

Для тела, совершающего поступательное движение,

T = ,

Где M – масса тела;

V – Скорость поступательного движения тела;

Для вращающегося вокруг неподвижной оси Z тела,

T = ,

Где - момент инерции тела относительно оси вращения;

ω- угловая скорость тела;

для тела, совершающего плоское движение,

T = + ,

Где M – масса тела;

V_C - скорость его центра масс;

J_CZ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс С перпендикулярно плоскости движения;

ω- угловая скорость тела.

2.3.2 Найдем кинетическую энергию тел

Тело 1 совершает плоское движение:

T₁ = + = + = + = 4,5 + 2,25 = 6,75 (2.1)

Где ω₁= V₁/R₁ ; J₁ =

Тело 2 вращается вокруг неподвижной оси и имеет переменное сечение (ступенчатый шкив):

T₂ = = = = 0,5625 m (2.2)

Где ω₂ = V₂/R₂ = 2V₁/R₂

Тело 3 движется поступательно:

T₃ = = = 6 (2.3)

Где V₃ =2V₁

Каждое из четырёх совершает плоское движение:

4T₄=4 + 4 =4 + =4 + = 4*0,5= 3 (2.4)

Где ω₄ = V_С/R₄ .

Кинетическая энергия системы равна

T = T₁+T₂+T₃+4T₄ =6,75 + 0,5625 m + 6 + 3 = 16,3125 (2.5)

2.3.3. Найдем работу внешних сил

Для расчёта суммы работ ∑ - внешних сил и моментов сил разделяем эти силы на активные и реакции связей и показываем на рисунке:

Рисунок 5 – Определение направлений скоростей и сил

Работы сил тела 1:

Работа силы тяжести тела 1 вычислим по формуле

A_P1 = +P₁H1 = M₁g sin α S = 9m * 9,81 * sin 30⁰ *S = 9*9,81*0,5 * m*S = 44,145 m*S, (2.6)

Где P₁ = 9mg

H₁ =S*sin α = S*sin 30⁰

Работа будет положительной т. к. тело опускается.

A_тр.ск. = 0, так как точка приложения силы находится в мгновенном центре скоростей.

= f_кач. * N₁ = f_кач. * 9mg * cosα; (2.7)

Отсюда = - * ᵠ₁ = - = -2,5 * 10^-3 *9m * 9,81 * 0,866 * = - 1,2744 mS (2.8)

Работы сил тела 2:

Работа силы тяжести тела 2 вычислим по формуле

, т.к. точка приложения силы не перемещается

Работы сил тела 3:

Работу силы тяжести тела 3 вычислим по формуле

; (2.9)

Работы сил тела 4:

A_P4 =- *g*sinβ*S₄ = -*0,5*2= -2,4525mS (2.10)

4 A_P4 = -9,81mS (2.11)

; (2.12)

; (2.13)

Работа отрицательна, т.к. этот момент препятствует движению тела

4 =-1,1328mS (2.14)

Найдем сумму работ внешних сил

(2.15)

2.3.4 Определим скорости и ускорения тела 1

Определение скорости

По теореме об изменении кинетической энергии системы

где =0 т. к. система начинает движение из состояния покоя;

=0 т. к. тела в системе абсолютно твердые и относительное движение тел в системе отсутствует (нити не растяжимые, подшипники без трения, качения тел по поверхностям и нитям без скольжения).

(2.16)

м/c (2.17)

Найдем ускорение

Продифференцируем уравнение (2.16) по времени

(2.18)

м/c² (2.19)