2. Метод Найквиста

Оценим устойчивость разомкнутой системы по критерию Ляпунова.

Передаточная функция разомкнутой системы

Согласно критерию Ляпунова разомкнутая САУ является устойчивой, причем, поскольку все корни являются действительными отрицательными, а два из них комплексно-сопряженными с отрицательной действительной частью, то переходный процесс представляет собой сходящиеся колебания.

Построим КЧХ разомкнутой системы .

Для исследования устойчивости САУ по критерию Найквиста необходимо построить комплексно-частотную характеристику (КЧХ) исходной разомкнутой САУ и проанализировать ее в соответствии с критерием Найквиста. В случае устойчивой САУ необходимо определить запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

Разомкнутая система находится в безразличном состоянии (т.к. эта система астатического класса). Следовательно, критерий устойчивости Найквиста будет выражаться так: чтобы система являлась устойчивой в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы КЧХ разомкнутой системы, дополненная дугой окружности бесконечно большого радиуса, при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывала точку (-1;j0).

Построим КЧХ разомкнутой системы (Рис.5).

Рис.5. КЧХ разомкнутой системы

Как видно, КЧХ разомкнутой системы охватывает точку (-1;j0). Следовательно, замкнутая система неустойчива.

3. Логарифмический критерий устойчивости

Для исследования устойчивости САУ по логарифмическому критерию необходимо построить логарифмические амплитудно-частотную (ЛАЧХ) и фазочастотную (ЛФЧХ) характеристики САУ.

По построенным ЛАЧХ и ЛФЧХ определяется устойчивость исходной САУ и для случая устойчивой системы определяются запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

Построение асимптотической ЛАЧХ выполняют в следующей последовательности:

• Определяют частоты сопряжения , и коэффициент усиления системы в дБ , равный 20lgK;

• полученные частоты сопряжения отмечают на оси абсцисс и проводят через них вертикальные пунктирные линии;

• строят первую асимптоту, которую проводят до первой сопрягающей частоты через точку с координатами иL=20lgKс наклоном, соответствующим астатизму системы (наклон -20 дб/дек соответствует астатической системе первого порядка);

• проводят вторую асимптоту от конца первой асимптоты до второй сопрягающей частоты. Ее наклон изменяется на +20, -20,+40 или -40 дБ/дек в зависимости от того, является ли сопрягающей частотой форсирующего, апериодического, форсирующего второго порядка или колебательного звена соответственно;

• строят каждую последующую асимптоту аналогичным образом. Изменение наклона (i+1)-й асимптоты зависит от того, сопрягающей частотой какого элементарного звена является .

Таким образом, следуя, предложенному выше, способу исследования системы на устойчивость, осуществим это исследование.

Определим частоты ;.

Также определим коэффициент усиления системы

Построение начнем с точки и

Таким образом, по логарифмическому критерию устойчивости система неустойчива, т.к. точка пересечения ЛАЧХ (рис.7.) с осью децибел лежит левее точки, где фазовый сдвиг (рис.7.) достигает значения ψ=-180˚.

Рис.7. ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы