1 Лабораторна робота № 1 тема: Методи розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь

Розв’язання рівнянь – алгебраїчних і трансцендентних – являє собою одну з істотних задач прикладного аналізу, потреба в якій виникає в найрізноманітніших розділах фізики, техніки і природознавства.

Задача визначення кореня рівняння з одним невідомим

ƒ(x) = 0 , (1.1)

де ƒ(x) – безперервна функція, складається з двох етапів:

1) відділення кореня, тобто визначення числового проміжку, у якому міститься один корінь рівняння;

2) уточнення значення кореня шляхом побудови послідовності

x_к = φ(x_к-1) , к = 1, 2, 3, ...

на основі відповідного методу.

Для уточнення значення кореня існують різні ітераційні методи.

1.1 Відділення числового проміжку, у якому міститься один корінь рівняння

1.1.1 Відділення кореня графічно (перший спосіб)

Якщо рівняння (1.1) зручно представити у вигляді

g (х) = h (х) , (1.2)

то абсцису х₀ точки перетинання графіків у = g(х) і у = h(х) можна знайти по кресленню.

Величину х₀ визначити з достатньою точністю графічно не можливо. Тому варто вибрати такий числовий проміжок [a ; b] для якого свідомо виконується нерівність a ≤ х₀ ≤ b .

Різні знаки функції при х =а і х = b

ƒ(а) * ƒ(b) ≤ 0 (1.3)

свідчать про наявність кореня в проміжку [a ; b] .

1.1.2 Другий спосіб відділення кореня

Цей спосіб містить звичайне табулювання функції у = ƒ(х) на інтервалі існування функції, при цьому ступінь зміни аргументу підбирається значимим. І знову, різні знаки функції при х =а і х = b , тобто ƒ(а) * ƒ(b) ≤ 0 свідчать про наявність кореня в проміжку [a ; b].

1.2 Уточнення значення кореня рівняння ƒ(x) = 0

1.2.1 Метод половинного ділення (метод бісекцій)

Рисунок 1.1 – Графічне зображення методу бісекцій

Рішення рівняння (1.1) вважається знайденим з точністю Е , якщо виконається умова

| х_{к + 1} – х_к | < Е (1.5)

1.2.2 Метод хорд (метод пропорційних чисел)

Умови збіжності методу припускають, що ƒ'(x) і ƒ''(x) зберігають знак на проміжку [a ; b] .

Побудова послідовності, що сходиться, проводиться по формулі

х_к = х_{к – 1} - ƒ(х_{к – 1}) * (с - х_{к – 1}) / (ƒ(с) - ƒ(х_{к – 1})) , к = 1, 2, ... (1.6)

де с – нерухомий кінець проміжку.

Якщо ƒ(а) * ƒ''(а) > 0 , то за нерухомий кінець приймається а , тоді х₀ = b .

У противному випадку, нерухомий кінець b , а як нульове наближення вибирається а .

На рис. 1.2 зображене поводження послідовних наближень у випадках:

а) ƒ(а) > 0 , ƒ''(а) > 0 ; б) ƒ(а) < 0 , ƒ''(а) < 0 .

Рисунок 1.2 – Графічне зображення методу хорд (послідовні наближення)

Процес наближення відбувається до виконання умови (1.5) , або доки ƒ(х_к) | ≤ Е (1.7)

1.2.3 Метод Ньютона (метод дотичних)

Умови збіжності методу припускають, що ƒ'(x) і ƒ''(x) зберігають знак на проміжку [a ; b] .

Уточнення значення кореня проводиться шляхом побудови збіжності послідовності.

х_к = х_{к – 1} - ƒ(х_{к – 1}) / ƒ'(х_{к – 1}) , к = 1, 2, 3,... (1.8)

За х₀ приймаємо той з кінців проміжку [a ; b] , на якому виконується умова

ƒ(х₀) * ƒ''(х₀) > 0 (1.9)

Поведінка послідовних наближень при ƒ(а) < 0 , ƒ''(а) < 0 (а) ; ƒ(а) > 0 , ƒ''(а) > 0 (б) ілюструється на рис. 1.3 .

Рисунок 1.3 – Графічне відображення методу дотичних

Процес наближення відбувається до виконання умови (1.5) , або (1.7).