7.2.1 Проверка адекватности модели объекта (метод Рунге-Кутта {используется для решения систем дифференциальных уравнений})

Заключительным этапом построения математической модели объекта является оценка точности аппроксимации. Обычно принимают, что модель адекватна объекту, если разность между ординатами нормированных переходных функций модели и объекта не превышает 0,05­0,07. Расчет переходной функции модели, имеющей выше приведенную передаточную функцию удобно производить путем численного интегрирования на ЭВМ, описывающей ее системой дифференциальных уравнений по программе (KP2.PAS).

Для этого исходная система приводится к нормальной форме Коши, т.е. к системе дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных.

........................................

Полученная система дифференциальных уравнений первого порядка решается с помощью численного интегрирования методом Рунге-Кута второго порядка. Для дифференциального уравнения первого порядка:

при начальном условии алгоритм вычисления этим методом на каждом шаге интегрирования имеет вид:

где шаг интегрирования, величина которого должна обеспечивать неравенство: , где- наименьшая постоянная времени системы.

Произведем оценку точности аппроксимации системы, на случай, когда аппроксимирующая передаточная функция имеет вид:

Запишем дифференциальное уравнение и введем новые переменные:

При возмущающем воздействии:

Обозначив, запишем систему дифференциальных уравнений первого порядка:

Полученную систему дифференциальных уравнений решают методом Рунге-Кута второго порядка.

Используя программу кп-2, получаем следующие значения:

Таблица 7.3.

P, (расчетные значения)	P1	P2	P3	P4	P5	P6	P7
	0	0	0,074	0,218	0,4	0,586	0,746
	P8	P9	P10	P11	P12	P13	P14
	0,866	0,943	0,984	0,998	0,98	0,99	0,983

Расчётная кривая

Экспериментальная кривая

Рис. 7.6.

Поскольку разность между ординатами нормированных переходных функций модели и объекта не превышает 0,05-0,07, то нет необходимости производить сглаживание кривых.

Расчет переходной функции модели на ЭВМ и сравнение ее с экспериментальной переходной функцией показали, что расхождение между ними , т.е. погрешность аппроксимации составляет менее 4%.

7.3 Расчет оптимальных настроек регуляторов методом расширенных частотных характеристик

Настройки регуляторов:

Система автоматического регулирования должна, прежде всего, удовлетворять двум основным требованиям. Во-первых, система должна иметь достаточный запас устойчивости, наличие которого гарантирует защиту системе автоматического регулирования от потерь устойчивости при всегда существующих в реальных условиях изменениях статических и динамических характеристик, входящих в нее звеньев. Второе требование заключается в том, что в пределах запаса устойчивости не менее заданного, качество регулирования должно быть наилучшим.

Рассматриваемый метод базируется на критерии устойчивости Найквиста, который можно интерпретировать как критерий запаса устойчивости по расположению корней характеристического уравнения, если ввести понятие расширенной амплитудно-фазовой характеристики.

Расширенная амплитудно-фазовая характеристика является частным случаем передаточной функции. Для нее оператор p=-mj, где  - круговая частота; m - степень колебательности (постоянная величина для данной расширенной амплитудно-фазовой характеристики, которая является критерием запаса устойчивости по расположению корней характеристического уравнения замкнутой системы).

Подобно тому, как обычная АФХ есть отображение на плоскости передаточной функции мнимой оси плоскости комплексного переменного p , расширенная АФХ есть отображение лучей, исходящих из начала координат, в левой полуплоскости под углом arctg m по отношению к положительной и отрицательной полуосям. Эта характеристика может быть получена из передаточной функции подстановкой p=-mj или определена графоаналитическим методом по обычной АФХ.

Собственно расчет оптимальных настроек регуляторов методом расширенных АФХ:

Амплитудно- фазовый критерий устойчивости как критерий запаса устойчивости по РАФХ можно сформулировать: “Если расширенная АФХ устойчивой или нейтральной разомкнутой системы W_po(m, j) при изменении  от 0 до  проходит через точку с координатами (-1; j0) не охватывая ее на более высоких частотах, то корни характеристического уравнения замкнутой системы будут расположены в левой полуплоскости на лучах -mj и внутри сектора, ограниченного этими лучами”.

P₃

P₂

P₁=

Рис. 7.7.

j Im

arctg m

Аналитически это условие записывают в виде:

arctg m

W_po(m, j)= W₀(m, j)W_p(m, j) = -1; (2.1)

И

Re

мея в качестве исходных данных математическую модель объекта, из условия (2.1) можно найти параметры регулятора, обеспечивающего работу системы с заданным запасом устойчивости m=m_зад. П-, И-, ПИ-закон регулирования.

Пусть

W_po(m, j)= W₀(m, j) W_p(m, j) (2.2)

где

W₀(m, j)=U+jV (2.3)

-амплитудно-фазовая характеристика объекта по каналу регулирующего воздействия.

(2.4)

-амплитудно-фазовая характеристика ПИ-регулятора. Подставляя (2.2), (2.3), (2.4) в выражение (2.1), получим:

(2.5)

или

(2.6)

из уравнения (2.6) получим систему двух уравнений с тремя неизвестными , K_p , K_p /Т_и :

(2.7)

Решая систему (2.7) относительно неизвестных (K_p/Т_и) и K_p будем иметь:

(2.8)

(2.9)

АФХ объекта удобно представить в следующей форме:

(2.10)

где А₀(m,) - РАЧХ объекта

F₀(m,) - РФЧХ объекта

Из сравнения выражений (2.3) и (2.10) следует, что:

U=A₀(m,) cos F₀(m,) (2.11)

V= - A₀(m,) sin F₀(m,)

Подставляя эти выражения в формулы (2.8) и (2.9) получим окончательно:

(2.12)

В плоскости параметров настройки ПИ-регулятора (в плоскости с координатами K_p/Т_и , K_p) выражения (2.11) и (2.12) описывают параметрическую кривую, которая вместе с прямой (K_p/Т_и)=0 ограничивает область заданного запаса устойчивости. Эта область является отображением на плоскости параметров настройки K_p/Т_и, K_p сектора в плоскости комплексного переменного p , ограниченного лучами, исходящими из начала координат в левой полуплоскости под углом arctg m. Изменение частоты , а следовательно, и изменение положения точки на кривой, описываемой уравнениями (2.11) и (2.12), соответствует перемещению пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения по лучам p=- m  j.

Настройки лежащие вне области, ограниченной кривой (2.11), (2.12) и прямой (K_p/Т_и)=0, соответствуют корням характеристического уравнения вне сектора, ограниченного лучами p=- m  j , И- и П-регуляторы являются частыми случаями ПИ-регулятора. Настройки их лежат соответственно на оси K_p=0 и (K_p/Т_и)=0.

Для И-регулятора из выражения (2.12) следует, что:

С учетом этого из (2.11) получим:

(2.13)

где ^* - частота, для которой выполняется условие:

(2.14)

Для П-регулятора из выражения (2.11) следует, что:

Sin F₀(m,)=0, т.е.

F₀ (m,)=

С учетом этого из (2.12) получим:

(2.15)

где ^** - частота, для которой выполняется условие:

F(m,^**)= (2.16)

ПИД-регулятор.

(2.17)

Для определения параметров настройки ПИД-регулятора из условия (2.1), получим формулы следующего вида:

(2.18)

Пространство параметров настройки регуляторов при этом трехмерное. Задаваясь различными значениями параметра K_pT_пр строят в плоскости K_p, K_p/Т_и кривые равной степени колебательности. Определив оптимальные настройки (K_p/Т_и)₀ и (K_p)₀ для каждого значения K_pT_пр, выбирают лучшую из них.

Оптимальные настроечные параметры регуляторов находятся из условия минимума интегрального квадратичного критерия качества:

(2.19)

Согласно которому определяется _р=1,2₀, соответствующая т. А на кривой m=m_зад. П- и И-регуляторы являются частными случаями ПИ-регулятора. Настройку П-регулятора определяют при S₀=0, а настройку И-регулятора - при S₁=0 на кривой m=m_зад.

Оптимальная настройка ПИД регулятора, соответствующая min критерию качества имеет вид:

В соответствии с выше изложенной методикой, по программе KP4 производят расчет настроек регуляторов.

Результатом работы программы будет задаваемый интервал изменения частоты  с задаваемым шагом дискретизации на основе которых строятся границы области устойчивости и границы области заданного запаса устойчивости по критерию m=0,366. А также соответствующей этой частоте модуль, фаза, настройки S₀, S₁.

По табличным данным, строим график зависимости S₀(S₁), по этому графику определяем ₀ соответствующей max S₀, далее определяем _p=1,2₀ и соответствующей этой частоте настройки S₀^опт и S₁^опт - это и будут настройки Пи-регулятора. Настройки же П-регулятора определяются при S₀=0; Настройки И-регулятора при S₁=0;

Для определения настроек ПИД-регулятора, рассчитываем настройку S₂ регулятора из условий: S₂=0,2S₁² / S₀

где - время изодрома;

- время предварения;

(крв-канал регулирующего воздействия)

Используя программу кп-4, получаем следующие значения: [9]

Таблица 7.4.

частота	модуль	фаза	настройка So	настройка S1
0,01	2,056	-0,825	0	-0,485
0,21	2,167	-17,497	0,031	-0,409
0,41	2,24	-34,169	0,108	-0,314
0,61	2,285	-50,426	0,216	-0,204
0,81	2,332	-66,26	0,333	-0,086
1,01	2,414	-82,315	0,435	0,035
1,21	2,553	-100,067	0,489	0,154
1,41	2,721	-121,953	0,461	0,263
1,61	2,723	-150,056	0,31	0,434
1,81	2,298	-180,752	-0,011	0,359
2,01	1,665	-205,765	-0,55	0,483
2,21	1,159	-223,011	-1,364	0,501
2,41	0,822	-234,816	-2,513	0,481
2,61	0,602	-243,298	-4,061	0,418
2,81	0,455	-249,713	-6,079	0,307
3,01	0,352	-254,77	-8,642	0,14
3,21	0,279	-258,888	-11,829	-0,086
3,41	0,225	-262,326	-15,724	-0,379
3,61	0,185	-265,252	-20,419	-0,744
3,81	0,154	-267,782	-26,006	-1,186

Рис. 7.8.

S_1опт=0,308 S_0опт=0,411

Рис. 7.9.

Настройка И-регулятора Sо=0,4(при S1=0)

Настройка П-регулятора S1=0,433(при Sо=0)

Настройка ПИД-регулятора:

Определим постоянную времени интегрирования по оптимальным настроечным параметрам ПИ-регулятора:

Зададимся тремя значениями постоянной времени дифференцирования: T_пр=0,2*Т_и=0,1498

Соответственно настройка Д-регулятора будет равна:S₂=0.2*(0.411² / 0.308)=0.11

По полученным значениям определим идля ПИД-регулятора (кп-4 ПИД):

Таблица 7.5.

частота	модуль	фаза	So	S1
0,01	2,056	-0,825	0	-0,484
0,21	2,167	-17,497	0,036	-0,399
0,41	2,24	-34,169	0,127	-0,294
0,61	2,285	-50,426	0,259	-0,175
0,81	2,332	-66,26	0,409	-0,047
1,01	2,414	-82,315	0,553	0,084
1,21	2,553	-100,067	0,658	0,213
1,41	2,721	-121,953	0,69	0,332
1,61	2,723	-150,056	0,609	0,437
1,81	2,298	-180,752	0,367	0,522
2,01	1,665	-205,765	-0,084	0,581
2,21	1,159	-223,011	-0,801	0,608
2,41	0,822	-234,816	-1,843	0,598
2,61	0,602	-243,298	-3,275	0,545
2,81	0,455	-249,713	-5,168	0,443
3,01	0,352	-254,77	-7,596	0,287
3,21	0,279	-258,888	-10,64	0,07
3,41	0,225	-262,326	-14,383	-0,213
3,61	0,185	-265,252	-18,915	-0,568
3,81	0,154	-267,782	-24,331	-1,001

Рис. 7.10.

Настройки ПИД-регулятора:

S0=0,67; S1=0,381; S2=0,236.