6. Определение устойчивости системы по критерию Михайлова

Система будет устойчивой если при изменении от нуля до бесконечности вектор, начав свое движение из точки лежащей на положительной вещественной оси комплексной плоскости, вращаясь против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль обходит последовательно n – квадрантов комплексной плоскости, уходя в последнем в бесконечность.

Согласно критерию Михайлова общий вид характеристического уравнения должен иметь следующий вид:

, где . (20)

Таким образом, чтобы исследовать систему автоматического управления по критерию Михайлова необходимо разделить все коэффициенты характеристического уравнения (1) на 2.54×10³ получим:

(21)

(22)

В характеристическом уравнении (2) произведем замену и получим характеристический вектор:

(23)

(24)

Выделим вещественную и мнимую части:

, (25)

где – вещественная часть; (26)

– мнимая часть. (27)

Построим годограф Михайлова

Рисунок 6 – Годограф Михайлова системы

Из графика годографа Михайлова видно, что система является устойчивой.

6. Построение переходного процесса системы

Переходная функция - это реакция системы на ступенчатое входное воздействие. Для того чтобы построить переходный процесс, используем обратное преобразование Лапласа от функции вида . (28)

(29)

Построим график переходного процесса с помощью математического редактора MathCAD:

Рисунок 7 – График переходного процесса

Анализируя полученный график можно сделать вывод, что полученная линейная система является устойчивой и мы можем определить прямые оценки качества:

– t_р = 0.93 c - время регулирования;

– h(t)_max = 0.87 - максимальное значение переходного процесса;

– h(t)_уст = 0.607 - установившееся значение переходного процесса;

– - величина переррегулирования; (30)

%; (31)

– t_н = 0.59 c – время достижения первого максимума;

– t_с = 0.62 c – время первого согласования;

– N = 3 - число колебаний системы.

6. Построение амплитудно частотной характерисики системы

АЧХ строится для того, чтобы определить косвенные оценки качества системы.

Для того, чтобы определить АЧХ системы, необходимо в передаточной функции заменить р на , знаменатель уравнения помножить на сопряженное выражение, выделить мнимую и вещественную части по формулам определить АЧХ.

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

Построим АЧХ используя математический редактор MathCAD.

Рисунок 8 – Амплитудно-частотная характеристика системы

Определяем косвенные оценки качества системы:

- амплитуда при нулевой частоте A(0)= 0.61;

- максимальная амплитуда Аmax= 1.15;

- резонансная частота - это частота, при которой амплитуда максимальна Гц;

- частота среза - это частота, при которой амплитуда равна единице Гц;

- полоса пропускания – это диапазон частот от до , который определяется при срезе величиной

; (37)

Гц;

Гц;

- период колебаний

(38)

- показатель колебательности

; (39)

-величина перерегулирования

; (40)

- время регулирования

(41)

(42)

. (43)