Оценка устойчивости замкнутой системы с помощью критериев Михайлова
Критерий устойчивости
Михайлова позволяет судить об устойчивости
замкнутой системы по поведению вектора
полинома
замкнутой
системы на комплексной плоскости.
Характеристический полином замкнутой системы:
Подставим некоторые значения частоты:
Таблица 1
|
|
U( |
V( |
|
0 |
0.37601 |
0 |
|
10.3 |
-0.52 |
0 |
|
17.1 |
0 |
0.116 |
|
73.64 |
0 |
-111.123 |
)
)
Листинг программы:
>>>> w=0:pi/5:20 (w=0:pi/10:100);
>> X=0.000001575*power(w,4)-0.00861*power(w,2)+0.37601;
>> Y=-0.0002838*power(w,3)+0.03*w;
>> plot(X,Y);
>> grid;
Рис. 5 - Годограф Михайлова
Согласно критерию
Михайлова, для устойчивости линейной
системы необходимо и достаточно, чтобы
вектор годографа Михайлова при изменении
частоты от 0 до
начинал движение из точки, лежащей на
положительной вещественной полуоси и,
вращаясь в «+» направлении (против
часовой стрелки) и нигде не обращаясь
в нуль, прошел последовательноn
квадрантов (где n-порядок
характеристического уравнения системы),
повернувшись на угол
.
В данном случае система устойчива, так как годограф проходит 4 квадранта (n=4) в нужной последовательности.
Оценка запасов устойчивости системы по модулю и по фазе, пользуясь афх
Для определения
запаса устойчивости по фазе на комплексной
плоскости проводится окружность
единичного радиуса с центром в начале
координат. Далее находится точка
пересечения окружности с годографом
АФХ, что соответствует частоте среза
ср.
-
запас устойчивости по фазе равен углу
между отрицательной вещественной
полуосью и радиусом окружности,
проведенным к точке пересечения с
годографом АФХ.
Запас устойчивости по модулю m характеризуется расстоянием между критической точкой и точкой пересечения годографа АФХ с единичной окружностью.
Рис. 6 - График АФХ
разомкнутой системы W(j
)
Запас устойчивости системы по модулю: m=0.6;
Запас устойчивости системы по фазе: =20.
Построение лах и лфх разомкнутой системы в Matlab. Оценка запасов устойчивости системы по модулю и по фазе.
Для того, чтобы получить ЛАХ и ЛФХ разомкнутой нескорректированной линейной системы, сначала построим структурную модель этой системы в Simulink:
Рис. 7 - Структурная схема разомкнутой системы
ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы, построенные с помощью пакета Matlab изображены на рисунке 8.
Рис. 8 - ЛАХ и ЛФХ разомкнутой нескорректированной системы
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ) – это АЧХ звена, построенная в логарифмических шкалах:
Логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФХ) – имеет логарифмический масштаб только по оси частот.
Запас устойчивости системы по модулю:
20lg L=-7.39; m=1-L =0.57;
где L – запас устойчивости по амплитуде, который показывает, на какую величину необходимо изменить коэффициент усиления разомкнутой системы, чтобы замкнутая система оказалось
на границе устойчивости.
Запас устойчивости системы по фазе: =180-162=18.