12

5 Построение частотных характеристик разомкнутой САР асимптотическим методом

В данном разделе необходимо построить асимптотическим методом следующие частотные характеристики разомкнутой САР:АФЧХ,ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Также необходимо подтвердить правильность расчёта и построения в каком либо математическом пакете.

Сначала найдём математически и построим графически зависимость для АФЧХ. Для этого необходимо в передаточной функции разомкнутой системы заменить на .Передаточная функция разомкнутой системы находится как при возмущающем воздействии равном нулю.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Выполнив подстановку получим следующее выражение для частотной передаточной функции:

После выполнения преобразований получим следующее представление частотной передаточной функции:

Где -ВЧХ разомкнутой системы, а -МЧХ.

Для построения АФЧХ откладываем на комплексной плоскости по действительной оси ВЧХ, а по оси мнимых значений-МЧХ. АФЧХ разомкнутой системы строим только на положительном интервале частот.

В итоге получим следующий график АФЧХ:

Рисунок 3 - АФЧХ разомкнутой системы

Далее выполним построение ЛАЧХ и ЛФЧХ асимптотическим методом. Для этого вначале нам необходимо преобразовать передаточную функцию САР разомкнутой системы таким образом, чтобы она приняла вид произведения типовых динамических звеньев. После разложения многочленов исходной передаточной функции на произведения отдельных скобок окончательная передаточная функция примет следующий вид:

Передаточная функция представляет собой произведение передаточной функции безынерционнго звена, а также трёх инерционных звеньев первого порядка и одного форсирующего второго порядка.

Следующим этапом определяем частоты перелома ЛАЧХ по формуле: .Они будут равны: для форсирующего звена ,а для инерционных:. Также нам необходимо на перпендикуляре к оси частот, проведённом через частоту ,отложить точку, ордината которой равна Теперь проводим через эту точку вспомогательную прямую под наклоном ,так как в состав передаточной функции не входят ни интегрирующее, ни дифференцирующее звенья.

Теперь строим ЛАЧХ по вспомогательной прямой до первой асимптоты. Далее мы находим наклон следующего участка: он равен наклону характеристики перед асимптотой и наклона ,определяемого асимптотой. Инерционное звено первого порядка вносит наклон ,

форсирующее второго порядка +4. Таким образом ЛАЧХ готова. ЛФЧХ строим аналогично, только суммируются не наклоны, а фазовые сдвиги соответствующих звеньев на своих асимптотах. Итоговые ЛАЧХ и ЛФЧХ представлены на рисунке 4:

Рисунок 4 – ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САР

Теперь необходимо выполнить проверку аналитических построений частотных характеристик в математическом пакете MATLAB.

На рисунке 5 представлена АФЧХ САР, а на рисунке 6- ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САР, построенные в MATLAB:

Рисунок 5 – АФЧХ разомкнутой САР

Рисунок 6 – ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САР