2. Алгебраические критерии устойчивости гурвица, рауса, льенара-шипара и шур-кона

Алгебраические критерии устойчивости не требуют выполнения вычислительной процедуры определения корней характеристического уравнения и при относительно невысоких порядках дифференциальных уравнений (до 15-го) позволяют находить условия асимптотической устойчивости автономных замкнутых систем.

Критерий Гурвица. Корни характеристического уравнения 15-го порядка будут иметь отрицательные действительные части, если составленный из его коэффициентов а_i > 0 определитель

и все его диагональные миноры положительны.

Пример. Характеристическое уравнение линейной замкнутой системы имеет вид

Так как коэффициенты характеристического уравнения больше нуля, то в результате найдем

замкнутая система асимптотически устойчива.

3. Критерий рауса

Зная коэффициенты характеристического уравнения, составляют таблицу Рауса. Для того чтобы замкнутая система была устойчива асимптотически, необ ходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты Рауса первого столбца таблицы при а_i>0 были положительны, т. е. Ci,1 > 0 (i = 1,, , 14....). Для вычисления эле ментов табл. можно использовать следующие рекуррентные формулы: для первой строки таблицы

для второй строки таблицы

Пример. Для характеристического уравнения линейной замкнутой системы, приведенного в примере выше, определены коэффициенты первого столбца:

В соответствии с критерием Рауса это указывает на асимптотическую устойчивость замкнутой системы,

4. Критерий Льенара—Шипара

Запишем условия устойчивости в форме Льенара—Шипара для характеристических уравнений до 6-го порядка включительно, пользуясь определителем Гурвица. Обозначим через миноры определителя Гурвица, стоящие на главных диагоналях, где индексы: i— порядок минора, а j - степень рассматриваемого характеристического уравнения. САР будет устойчива, если при а_i > 0 нечетные миноры главной диагонали будут положительными. Для характеристических уравнений разных степеней вида условия устойчивости имеют следующий вид:

для 6-й степени

Пример. Для характеристического уравнения линейной замкнутой системы 6-го порядка все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля. Подставив числовые значения, получим

что указывает на устойчивость системы.

5. Критерий Шур — Кона

По уравнению запишем коэффициенты в виде определителя

Данный критерий позволяет анализировать устойчивость дискретных и дискретно-непрерывных систем по характеристическому уравнению замкнутой системы, записанному в форме z-преобразования. Для уравнения п-го порядка имеем

где- сопряженные значения тех же коэффици-

ентов.

Корни характеристического уравнения будут находиться внутри единичной окружности, если коэффициенты уравнения удовлетворяют всем определителям

Пример. Исследовать устойчивость замкнутой системы, описываемой характеристическим уравнением

Нечетные определители

Четные определители

Из полученных определителей следует, что дискретная система устойчива.

6. Частотные критерии устойчивости многоконтурных САР по Михайлову-Найквисту

Для анализа устойчивости многоконтурных систем воспользуемся логарифмическими частотными характеристиками.

Многоконтурная САР с замкнутой главной обратной связью будет устойчива, когда во всех входящих в нее передаточных функциях, имеющих m полюсов в правой полуплоскости, при Lm >0 обеспечивается разность между числом подъемов и спусков пересечений прямых с = -180°, -540°, -900° ... всеми фазовыми частотными характеристиками, получаемыми путем последовательного замыкания каждого из контуров обратными связями, равными m/2.

7. Выделение областей устойчивых и неустойчивых состояний с помощью D-разбиения

Применение метода D-разбиения позволяет исследовать устойчивость замкнутой системы с помощью характеристического уравнения на плоскости, выде-

ляя один или два параметра. В качестве таких параметров могут быть приняты передаточные коэффициенты k_i или постоянные времени передаточных функций Т_i (i=1,2,...).

Рассмотрим

Из выражения (67) найдем:

Положим, что w—комплексное число, и отобразим мнимую ось плоскости корней 1 на плоскость w. Тогда при k=jw из уравнения (67) получим

Изменяя значения ω от - до + , построим в плоскости w (или и, v) кривую, отображающую мнимую ось jw плоскости S на плоскость w(jw). Получаемая в результате этого кривая является кривой D-разбиения. Такая кривая всегда симметрична относительно действительной оси; поэтому можно строить лишь участок, соответствующий изменению чистоты от 0 до , а затем дополнить его зеркальным отображением кривой D-разбиения относительно действительной оси. В результате получим несколько областей. Однако судить о том, в какой из областей все корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части, не представляется возможным. Для этого необходимо пользоваться правилом штриховки кривых D-разбиения. Сформулируем это правило применительно

к D-разбиению плоскости относительно одного параметра k_i или T_i в следующем виде.

При перемещении вдоль кривой D-разбиения от частоты до ее следует штриховать слева, как показано на рисунке 2. Таким образом, на плоскости получим несколько зон, отделенных одна от другой кривой D-разбиения.

Рассмотрим рисунок 2, а, где показаны три области 1-3. Будем считать, что в зоне 1 каждой точке плоскости соответствует комплексное число к корней с отрицательной действительной частью. Если при переходе из зоны 1 в зону 2 происходит пересечение кривой D-разбиения с не заштрихованной стороны на заштрихованную, то в зоне 2 число корней с отрицательной действительной частью увеличивается на единицу и отметка точки к становится равной к+ 1. При переходе кривой D-разбиения из зоны 1 с заштрихованной стороны на не заштрихованную (зона 3) число корней с отрицательной частью уменьшается на единицу, и отметка точки будет равна к-1.

Интерес представляет исследование только действительных значений параметра w. Поэтому, построив кривые D-разбиения, находят такой отрезок действительной оси на плоскости w(jw), который принадлежит области устойчивости. Равенство числа отрицательных корней степени характеристического уравнения позволяет выделить зону, где точки плоскости с наибольшим числом соответствуют области устойчивости системы. Числовые значения на действительной оси в этой области определяют принятые параметры k_i или T_i .

Из рисунока 2, а можно установить, что в зоне 2 имеется самая большая отметка точки к + 1, и если она равна n, то в зоне 2 обеспечивается устойчивость. Числовые значения по оси абсцисс для рассматриваемого параметра в области 2 гарантируют устойчивость работы системы. На рисунке 2, б изображена кривая D-разбиения с пятью зонами /— V. В зонах // и V обеспечивается условие к+ 1 = п и система устойчива. Кривая D-разбиения (рисунок 2, в) выделяет две зоны. В зоне //

будет точка с отметкой к + 1=- п. Она соответствует устойчивости системы, В заключение воспользуемся кривыми D-разбиения, приведенными на рисунке 2, г. При этом видно, что наибольшая отметка числа к в зоне /; при к = п зона / является областью устойчивости.

Для удобства вычислений можно брать w = 0 и находить корни оставшегося уравнения. При их числе, равном / с отрицательными действительными частями, имеем к = /, а область устойчивости системы будет иметь отметку с точкой /+j (где j=1, 2, 3,...), равной порядку характеристического уравнения п. Воспользуемся данным положением. Допустим, что кривая D-разбиения, изображенная на рисунке 2, в, построена по характеристическому уравнению вида:

Задаваясь в уравнении (72) различными значениями ω, построим на рисунке 2, в кривую D-разбиения.

Рисунок 2. Кривые D-разбиения по одному параметру на пл, w для определения областей устойчивых и неустойчивых состояний систем:

а, в, г — с тремя

областями; б—с пятью областями

Теперь положим a4=0; тогда из уравнения (72) получим

откуда s1 = 0. Из уравнения

определим

Итак, устанавливаем, что один корень имеет нулевое значение, а в трех остальных действительные части отрицательны, т. е. /=3. Так как в зоне 2 к + 1=- i + I, то при i = 1 найдем к + 1 = 4, так как порядок уравнения (74) четвертый. Следовательно, зона 2 соответствует устойчивой системе. При этом ее параметр а4 изменяется в диапазоне действительных чисел, выделенных на рисунке 2, в жирной стрелкой.

При А, = jω из уравнения (75) получим

Перейдем теперь к рассмотрению САР, в которых можно выделить два параметра . Если эти параметры входят в характеристическое уравнение (70) линейно, то его можно переписать в виде:

Для построения кривой D-разбиения необходимо определить при различных значениях ω, решая совместно уравнения:

Из уравнений имеем

В результате из выражений (75) и (76) найдем два уравнения, в которых можно выделить , т. е.

Пользуясь соотношениями и изменяя ω от - до +, получим в системе координат кривые D-разбиения.

Сформулируем правило штриховки кривой D-разбиения, построенной относительно двух параметров.

При перемещении вдоль кривой Д-разбиения от частоты до ее следует штриховать слева кривой в тех точках, для которых Δ> 0, и справа при Δ <0. Отметим, что при изменении со кривая D-разбиения пробегает дважды от w=0 до , и ее следует выделять двойными штрихами. На рисунке 3, а изображены две различные кривые D-разбиения, которые обозначены цифрами 1 и 2. Из рисунка 3,а видно, что если переход через кривую 2 от точки к происходит с не заштрихованной стороны на заштрихованную, то число корней с отрицательной действительной частью увеличивается на два и отметка точки к становится к + 2. При переходе кривой 1 из зоны с заштрихованной стороны на не заштрихованную число корней с отрицательной действительной частью уменьшается на два и точка отмечается как к— 2.

При движении по кривой D-разбиения в плоскости двух параметров знак л может изменяться только в бесконечности или при частотах w, которым соответст-

вуют особые прямые. В результате этого направление штриховки кривой Д-разбиения меняется только в тех точках, где кривая пересекается с особыми.

Рассмотрим особую прямую при w=0 (рисунок 3, б); тогда вблизи этой точки прямую штрихуют одинарной штриховкой, совпадающей с двойной штриховкой кривой D-разбиения. Особую прямую при w= штрихуют таким же образом, как и при w=0 (рисунок 3, в). Кроме особых прямых w=0 и w=, существуют особые прямые, соответствующие тем значениям , при которых одновременно удовлетворяются условия Δ =0, Δ1 =0. Такую особую прямую вблизи точки и штрихуют двойной штриховкой, совпадающей с двойной штриховкой кривой D-разбиения (рисунок 3, г). На рисунке 3, а— г приведена разметка точек при пересечении кривых D-разбиения,

Сравнение различных методов анализа устойчивости САР рассмотрим на примере.

Рисунок 3. Кривые D-разбиения по двум параметрам v и μ на пл, w для определения областей устойчивых и неустойчивых состояний: а - иллюстрирующие правило штриховки кривых; б - при наличии особой прямой, проходящей через точку w= 0; в - при наличии особой прямой, проходящей через точку w=;

г— при наличии особой прямой, проходящей через точку где Δ =0.

Пример. Допустим, что САР дизеля можно представить с помощью передаточной функции:

При принятых числовых значениях параметров составим характеристическое уравнение:

Введем в уравнение (79) новую переменную

Здесь

Перепишем уравнение (81) в виде следующей системы уравнений:

Зададимся квадратичной формой:

и будем искать функцию Ляпунова в форме:

удовлетворяющей, с учетом системы уравнений (82), соотношению Соответствующая система для определения коэффициентов имеет вид

Запишем функцию Ляпунова

Условиями положительной определенности функции V по критерию Сильвестра являются ас >0; c(ab—с) > О, которые одновременно характеризуют отрицательную определенность W. Так как

a c=k1k2+l, то неравенства можно переписать в виде

Рисунок 4.

Сравнение областей

устойчивых и неустойчивых состояний по параметрам T1 и k1, полученных на основе различных методов.

Подставив в неравенство (86) числовые значения, найдем уравнения границы областей устойчивых и неустойчивых состояний

По формуле (87) определим числовые значения, характеризующие границы устойчивости по Ляпунову при различных k1 и t1

По этим числовым данным строим границу областей устойчивости (кривая 1, рисунок 4). Для определения минимального значения Ti mm воспользуемся соотношением

откуда T1 min= 0,450с.

Кривая 1 имеет две асимптоты, определяемые уравнениями T1=0 — ось ординат и k1=4,9383 + 0,98777T1 - наклонная асимптота (прямая 2). Асимптоты показаны штриховыми линиями. Область устойчивости системы выделена на рисунок 4 штриховкой.

Воспользуемся для построения границ областей устойчивости критерием Льенара - Шипара. Если характеристическое уравнение имеет 3-й порядок, то условия устойчивости Льенара — Шипара будут

Из неравенств (89) видно, что последние аналогичны условиям устойчивости по первому методу Ляпунова. Поэтому, пользуясь этим критерием, получим полное ' совпадение с кривой 1, которая ранее была построена на рисунке 4

Исследуя устойчивость системы с помощью построения частотных характеристик, найдем

Задаваясь значениями T1 и k2, построим семейства логарифмических ампли

тудных и фазовых частотных характеристик. Они показаны на рисунке 5,а при T1 = 0,1 с, k1 =7,04; на рисунке 5,6 при T1= 0,3 с, k1=- 5,9; на рисунке 5, в при T1= 1 с, k1= 6,13 и на рисунке 5, г при T1= 3 с, k1=7,97. Из рисунка 5,а—г видно, что системы в замкнутом состоянии при этих параметрах находятся на грани устойчивости, так как их запасы устойчивости по фазе уф = 0°. По числовым значениям T1 и k1 строим на рисунке 4 кривую 1, которая совпадает с ранее полученной. Следовательно, частотный графоаналитический метод анализа устойчивости также позволяет выделять области устойчивых и неустойчивых состояний замкнутой системы. Данный метод рекомендуется использовать при относительно высоких порядках передаточных функций разомкнутых систем.

В заключение рассмотрим возможности метода D-разбиения при исследовании устойчивости систем. Для этого воспользуемся следующей формой представления дифференциального уравнения

Рисунок 6. Кривые D-разбиения для выделения областей устойчивости системы в плоскости параметров T1, k1

Подставив в уравнение (91) числовые значения, получим

вычислим следующие определители:

Из системы уравнений (93) определим

Давая со различные значения от 0 до , построим по формулам (95) кривые D-разбиения (рисунок 6), Определитель Δ = 0 при w= 0 и w= 2,222. Однако в последнем случае Δ1, и Δ₂ не обращаются в нуль. Поэтому имеются две особые прямые: w= 0 и w=.

Приравняв к нулю свободный член a3(k1) характеристического уравнения (92), получим 1 + k1 k2 =0, где k1= -1/25 =-0,04, т. е. уравнение первой особой прямой. Приравняв a₀(T1) = 0, найдем уравнение второй особой прямой T1= 0.

Воспользуемся правилом штриховки, двигаясь по кривой D-разбиения от точки w= 0 к точке w= 2,222, и нанесем двойную штриховку (рисунок 6). Затем в соответствии с ранее сформулированными условиями выполним одинарную штриховку особых прямых (рисунок б).

Для параметров T1= - 0,04 с и k1 = 1 из уравнения (92) имеем один нулевой корень и к-1 = I отрицательных корней. На рис. 4.32 это показано точкой T1 Затем по правилу переходов кривых D-разбиения и особых прямых найдем точки T2-T6, каждой из которых соответствует свое значение

l=k+1-i (i=1, 2, 3). Наибольшую отметку имеют области с / - к = 3. Так как порядок уравнения (92) равен трем, то зоны с / = 3 соответствуют областям устойчивости системы.

Кривые D-разбнения, построенные в 1-м квадранте на рисунок 6, полностью совпадают с кривыми, разделяющими области устойчивых и неустойчивых состояний (рисунок 4). Следовательно, все четыре рассмотренные нами метода

выделения областей устойчивости системы в зависимости от изменения параметров дают одинаковые результаты.

В заключение отметим, что метод D-разбиения позволяет исследовать влияние как положительных, так и отрицательных параметров на области устойчивых и неустойчивых состояний, что в ряде практических задач представляет определенный интерес.

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с методами исследования устойчивости стационарных и нестационарных линейных и непрерывных и дискретно-непрерывных систем автоматического регулирования.

2. По выданному варианту системы автоматического регулирования провести расчет устойчивости систем по предложенным критериям

Содержание и оформление отчета

Отчет выполняется на листах формата А4 и содержит:

1. Название практической работы (на титульном листе).

2. Цель работы.

3. Структурная схема варианта системы автоматического регулирования.

4. Расчетная часть практической работы.

5. Выводы по результатам работы.

6. Отчет выполняется вручную или с применением средств ЭВМ.

Исследование устойчивости стационарных и нестационарных линейных и непрерывных и дискретно-

непрерывных систем

автоматического регулирования.

Методические указания к практической работе по курсу "Локальные системы управления" для студентов специальности 2101.

Составили: Власов Вячеслав Викторович

Скоробогатова Татьяна Николаевна

Редактор: О.А.Панина Рецензент: М.А.Фролова