1

Государственный комитет по высшему профессиональному образованию РФ.

Саратовский Государственный Технический Университет

Исследование устойчивости стационарных и нестационарных линейных и непрерывных и дискретно-непрерывных систем автоматического регулирования

Методические указания к практической работе по курсам "Локальные системы управления" для студентов специальности 2101

Одобрено

редакционно-издательским советом Саратовского Государственного технического университета.

Саратов 2002

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить методы исследования устойчивости стационарных и нестационарных линейных непрерывных и дискретно-непрерывных САР.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ:

Понятия устойчивости стационарных и нестационарных линейных непрерывных и дискретно-непрерывных САР существенно различаются. Для случая стационарных систем необходимым и достаточным условием устойчивости следует считать такое, когда единственным положением равновесия будет начало координат, если характеристическое уравнение не имеет полюсов ни в правой части комплексной плоскости, ни на мнимой оси при входном сигнале, равном нулю. Сразу же отметим, что для определения устойчивости систем нет необходимости вычислять корни характеристического уравнения. Необходимо только знать, как они располагаются на комплексной плоскости. Для этого существуют некоторые правила, называемые критериями устойчивости.

В нестационарных системах изменение параметров может привести к нарушению сформулированного условия устойчивости стационарных систем; так, в характеристическом уравнении могут появиться полюсы как в правой полуплоскости, так и на мнимой оси. Поэтому при использовании критериев устойчивости приходится накладывать дополнительные ограничения.

1. Устойчивость систем по методу Ляпунова

В общем случае уравнение динамики замкнутых линейных стационарных САР будет:

Для этой системы при постоянном управляющем воздействии g (t) и наличии матрицы Аз^-1_} обратной Аз, положение равновесия находится в точке х_е= Аз^-1·Вз·r, где g(t) равно постоянной величине r. Когда управляющее воздействие g(t) зави-

сит от времени, то в общем случае не представляется возможным найти такое преобразование, которое определяло бы единственное положение равновесия, Тогда исследование устойчивости линейных систем по методу Ляпунова нельзя переносить непосредственно на системы с произвольным входным воздействием. Сначала рассмотрим автономные линейные стационарные замкнутые системы. Далее этот способ будет распространен на исследование устойчивости линейных нестационарных замкнутых систем.

Представим функцию Ляпунова в векторно-матричном виде

или в обычной квадратичной форме

Линейную непрерывную автономную стационарную систему можно описать уравнением

где p _ij — постоянные коэффициенты.

Пример. Допустим, что функция Ляпунова имеет вид

Квадратичная форма (3) будет положительно-определенной, если каждый из ее главных угловых миноров удовлетворяет условиям:

При этом миноры

тогда ее квадратичная форма

Матрица Р положительно-определена, если собственные значения λ ; положительны; отрицательно-определенна, если λ, отрицательны; знакоположитель-

0.

Определим производную от функции V(x), которая была записана в виде

Сформулируем основное положение об асимптотической устойчивости Ляпунова.

При положительно-определенной матрице

и V>0 в некоторой области х X, включающей в себя начало координат, положение равновесия в начале координат будет асимптотически устойчиво.

При анализе устойчивости линейных автономных систем используется также способ, связанный с исследованием корней характеристического уравнения матрицы Аз.

Обозначим корни характеристического уравнения через λ.; тогда

При исследовании устойчивости в ряде случаев можно использовать уравнение

Если все корни характеристических уравнений отрицательные вещественные части, то нулевое решение системы асимптотически устойчиво. Если же среди корней уравнений имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то нулевое решение системы неустойчиво. Когда уравнения не имеют корней с положительной вещественной частью, но некоторые из них содержат нулевые вещественные части, в этом случае могут возникать явления как устойчивости (не асимптотической), так и неустойчивости. Таким образом, при нулевом решении уравнения необходимо производить дополнительные исследования устойчивости.

Рассмотрим способы применения функции Ляпунова для анализа устойчивости стационарных и нестационарных систем. Дифференциальное характеристическое уравнение стационарной системы имеет вид

где а и b - постоянные коэффициенты. Зададимся квадратичной формой:

и представим функцию Ляпунова в виде

которая удовлетворяет уравнению

Подставляя значения производных из системы (12), получим

Функцию W(x1,x2) запишем в виде

Приравняем коэффициенты при одинаковых переменных:

Имеем р12 = р21. Тогда систему уравнений (18) можно переписать в виде

В качестве квадратичной формы возьмем

тогда в системе (19)

Решая систему уравнений (19), получим

В этом случае функцию Ляпунова можно записать в виде

для которой имеем

Если где - малая произвольная постоянная, то одновременно выполняются неравенства V(x1,x2)>0 и V(x1,x2)<0 в некоторой области плоскости (x1, х2), включающей в себя начало координат. Согласно первому методу Ляпунова система уравнений является асимптотически устойчивой в начале координат. На рис. 1, а - область устойчивого состояния системы, зависящего от параметров а и b, выделена штриховыми линиями.Существует несколько условий неустойчивости замкнутых стационарных САР. Рассмотрим условия неустойчивости системы по Ляпунову.

Рис. 1. Области асимптотической устойчивости нестационарной линейной системы в начале координат в зависимости от ее параметров, полученные с помощью применения 1-го метода Ляпунова:

а—для стационарной функции V (x1 ,x2) и b(t)>b1;

б—для стационарной функции V (x1 , x2_) и условий a1<a(t)<a2, и, условий b1<b(t)<b₂.

Первое условие неустойчивости.

Если автономная система описывается дифференциальным уравнением (1), для которой существует непрерывная функция V(x), имеющая непрерывные частные производные в области Г, включающей начало координат, такие, что

V1(0)=0, а ее производная определена вдоль всех траекторий системы, но при этом в любой окрестности начала координат V1 не является знакоотрицательной функцией, то начало координат неустойчиво.

Пример. Запишем уравнения автономной системы

Составим функцию Ляпунова в виде

Из выражений (24) и (25) следует, что автономная система неустойчива в начале координат по первому условию Ляпунова.

Второе условие неустойчивости.

Если для автономной системы, описываемой дифференциальным уравнением (1), существует функция V1(x) в области Г, включающей в себя начало координат, такая, что V1 = 0 и ее производная вдоль траекторий имеет вид

где Δ > 0 и W(x) в той же ооласти Г, а в произвольной окрестности начала

координат функция V(x) не является знакоотрицательной, то начало координат неустойчиво.

Пример. Запишем уравнение автономной системы

Составим функцию Ляпунова в виде

Выражение (29) перепишем в форме (26). Тогда получим

В выражении (30)

Из выражений (29) и (31) следует, что система неустойчива в начале координат по второму условию Ляпунова. Корни характеристического уравнения (28) будут , что также характеризует неустойчивость системы.

Третье условие неустойчивости (Ляпунова—Четаева).

Допустим, что функция V(x):

а) имеет непрерывные частные производные в области Г ₁, входящей в об ласть Г с началом координат;

б) V(x) и ее производная положительно-определенны в области Г ₁ состоя щей из внутренних точек области Г;

в) на границе Г ₁ V(x)=0;

г) начало координат принадлежит границе области П.

В случае выполнения условий а)-г) начало координат неустойчиво, В отличие от стационарных систем автономные нестационарные системы описываются уравнениями вида

Для таких систем скалярная функция Ляпунова V(x, t) зависит от времени и является положительно-определенной в области Г, содержащей начало координат, если

где — непрерывная и возрастающая функция, для которой (0)=0.

Наличие нестационарности систем приводит к необходимости изменения условий устойчивости по Ляпунову.

Первое условие устойчивости. Если для системы существует положительно-определенная скалярная функция V(x, t), имеющая непрерывные производные по переменным х и t в некоторой окрестности. Г начала координат, а ее производная меньше нуля, то начало координаты устойчиво.

Второе условие устойчивости. Если к первому условию добавить неравенство

то начало координат эквиасимптотически устойчиво.

Третье условие устойчивости. Если существует непрерывная строго возрастающая функция р, такая, что р(0) =0, и в дополнение к первому и второму условиям устойчивости в области Г для всех t выполняется неравенство то начало координат эквиасимптотически устойчиво

Отметим, что при решении практических задач об устойчивости и замкнутых нестационарных систем крайне желательно выбирать функцию V, не зависящую от времени t. Тогда для равномерной асимптотической устойчивости необходимо иметь V(x)>0, х≠О, V(0)=0, и функция производной должна удовлетворять условию (33). При этом существенно упрощается анализ устойчивости нестационарных систем.

Дифференциальное характеристическое уравнение нестационарной системы запишем в виде

или нестационарную, когда

Исследование замкнутой системы (36) состоит в том, чтобы на функции a(t) и b(t) были наложены такие ограничения, при которых обеспечивается асимптотическая устойчивость в начале координат. Для этого необходимо найти функцию Ляпунова. Известно, что можно сформировать две функции Ляпунова, если положить

Для стационарной функции Ляпунова при p1 > 0 и р2 > 0 функция V(x1 ,x2) положительно-определенна, и для нее справедливо соотношение

Если b(t)≥b1 и коэффициент при положителен, то производная будет отрицательно-определенной. В этом случае получим

После ряда преобразований неравенство (42) перепишем в виде

Из выражения (43) следует, что

Если неравенства (43), (44) записать в виде равенств и воспользоваться условием b(t) = b1, то на плоскости (а, b) можно найти область, где обеспечивается асимптотическая устойчивость. Эта область на рис. 1, а выделена штрихами. Кривая 1 соответствует уравнению параболы

прямая 2—условию: а кривая 3—уравнению:

Учитывая условия

где a1, b1, a2 и b2 постоянные параметры, построим на рис. 1,6 штриховой линией параболу 2.

При этом видно, что она проходит через точку с координатами a1, b1.

При этом нижняя ветвь параболы 2 проходит через точку с координатами b’2, a1 когда b’2≥b2 Подставляя эти координаты в уравнения, найдем два уравнения относительно p1 и р2. Исключив р2, определим p1. Затем, записав p1 через р2, получим (│) и

Из уравнений (47)_; (48) определим ординаты парабол при постоянном значении. Для этого воспользуемся уравнениями

Полученная с помощью уравнений парабола 1 изображена на рисунке сплошной линией. Выражение (50) можно переписать в виде

Откуда получим необходимые условия для определения коэффициентов

В соответствии с неравенствами на рис. 1,6 штрихами выделена внутренняя область, определяемая этими параболами, в которой возможна асимптотическая устойчивость системы в начале координат.

Для нестационарной функции Ляпунова найдем

Принимая

Функция V(x1,x2, t) знакоотрицательна и начало координат асимптотически устойчиво, так как V(x, t) > 0 и имеет непрерывные производные по х и t в окрестности начала координат, a V(x, t) <0

Рассмотрим применение первого метода Ляпунова к дискретным или дискретно-непрерывным системам, приведенным к дискретным моделям. В этом случае автономное уравнение замкнутой системы можно записать в виде

Функция Ляпунова имеет вид

Обозначим первую разность этой функции дг на траектории х* следующим образом:

где Q-—симметричная положительно-определенная матрица вида

Автономная дискретная система (59) будет устойчива, если существуют положительно-определенные симметричные матрицы. Р и Q, которые удовлетво-

ряют соотношению:

Из выражения (60) следует, что

Если рассматриваемая система (65) асимптотически устойчива, то ; из уравнения (66) получим искомую функцию Ляпунова

функция V () положительно-определенна, и ряд сходится.

Пример. Необходимо исследовать устойчивость дискретной линейной системы по Ляпунову, описываемой уравнением вида

Так как р1,2=p2,1, получим систему уравнений

Выбирая Q = 1 имеем

откуда найдем матрицу

Ее диагональные миноры Δ1 = 3,904 > 0 и Δ2 = 7,56 > 0, поэтому матрица Р положительно-определенна, а автономная замкнутая система, согласно выполнению условия устойчива.