4.4. Устойчивость системы по критерию Найквиста.

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по виду АФЧХ разомкнутой САУ. Путем замены в передаточной функции разомкнутой системы, получим:

(9)

Меняя ω от 0 до строим годограф Найквиста:

Рис.5–Годограф Найквиста.

где -мнимая часть , -действителная часть .

Система имеет астатизм первого порядка, следовательно, при частоте стремящейся к нулю мнимая часть устремляется к минус бесконечности. Поэтому АФЧХ разомкнутой системы дополняем окружностью бесконечного радиуса R. Так как нулевой корень заменяем малым вещественным отрицательным корнем, то разомкнутую систему можно считать устойчивой. Все это означает, что для исследования устойчивости замкнутой системы можно применять критерий Найквиста. Из рисунка видно, что точка (-1;j0) не охватывается годографом, значит замкнутая система устойчива.

Определим запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

Рис.5–Годограф Найквиста и окружность единичного радиуса.

Запас по амплитуде: 0,36

Запас по фазе: 10,71 градусов.

5. Построение лачх и лфчх исходной разомкнутой системы.

Передаточная функция разомкнутой системы:

Определим постоянные времени и соответствующие им частоты.

T1= 0.02 w1=50 lg(w1)=1.699

T2 = 0.067 w2=14,92 lg(w2)=0.76

T3 = 1.333 w3=0.75 lg(w3)=-0.125

T4 = 2.16 w4=0.462 lg(w1)=-0.334

Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы строим с учетом требуемого коэффициента усиления. Коэффициент ошибки для астатической системы равен . Откуда можно определить .

, (10)

. (11)

Асимптотическая ЛАЧХ и ЛФЧХ изображены в приложении .

6. Построение желаемой лачх с учетом требуемых значений быстродействия, перерегулирования и точности.

Построение желаемой ЛАЧХ производится из следующих условий быстродействия, перерегулирования и точности: σ=30%, t_р=3 c.

Из условия устойчивости системы определим частоту среза и запас по амплитуде системы [См. 1].

Требуемое значение запаса по модулю дБ и запаса по фазе .

Из полученных условий строим желаемую ЛАЧХ. Отметим точку и проведем через нее прямую с наклоном –20дБ/дек, которая представляет собой среднечастотную амплитуду желаемой ЛАЧХ. Продолжим прямую до тех пор, пока ординаты не станут равными L₁ и L₂. Этим точкам соответствуют частоты и . Из этих данных определяем , . Низкочастотная область желаемой ЛАЧХ совпадает с исходной ЛАЧХ: . Высокочастотную область проводят так, чтобы через каждую 0,2 дек ломать на 20 дБ/дек, чтобы наклон желаемой ЛАЧХ в конце совпало с исходной ЛАЧХ: Она представлена в приложении .

Составим передаточную функцию разомкнутой системы для желаемой САУ, получим:

(11)

После этого построим ЛФХ желаемой системы (см. приложение) и определим запасы устойчивости по амплитуде и по фазе, и сравним их с запасами устойчивости, полученными из номограммы.

,

Запас по фазе , запас устойчивости по амплитуде равен 9 Дб. Требуемые запасы выполняются.