
курсовая работа / metod_funkciy_lyapunova_v_zadachah_upravleniya
.doc
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение…………………………………………………………………………2
Метод знакопостоянных функций Ляпунова в задачах о стабилизации и синтезе управления для нелинейной управляемой системы…………………………………………………………………………..3
Постановка задачи о синтезе управления…………………………………..3
Задача синтеза управления для автономной управляемой системы…….8
Заключение…………………………………………………………………….16
Список литературы……………………………………………………………17
Введение
Середина 20-го века ознаменовалась интенсивным развитием математической теории управления. Это развитие было связано прежде всего с необходимостью решения задач управления механическими объектами, а в дальнейшем, также и с исследованием технологических и экономических процессов. Одной из центральных задач теории и практики управления остается проблема синтеза законов управления механическими системами. Основы решения этой проблемы заложены в работах Н.Н. Красовского, В.В. Румянцева, А.М. Летова, Д.Е. Охоцимского, Ф.Л. Черноусько, Е.С. Пятницкого и их научных школ.
Принцип динамического программирования представляет собой синтез вариационного исчисления и метода функций Ляпунова [14, 24, 26]. На этом базируются основные методы стабилизации движений управляемых систем, в том числе механических, на бесконечном интервале времени [2, 4, 22, 23, 25, 32, 33, 37] и синтеза управления на конечном отрезке времени [8, 9, 16-20] с применением функции Ляпунова.
В [25] показано применение функции Ляпунова со знакоотрицательной производной в задаче синтеза управления в системе, асимптотически устойчивой на бесконечном интервале относительно множества, на котором управление вырождается. Развитие этого подхода с использованием функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную, проведено в работах [10-12].
В работах В.И. Коробова и его учеников [8, 9, 16-20] представлены результаты целенаправленных исследований по синтезу управления на конечном отрезке с помощью функции управляемости, удовлетворяющей по существу условиям классической теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [26, 35].
Применение теории моделирования [24, 27, 36, 38] позволяет проанализировать подходы и алгоритмы решения задач об управлении механическими системами с точки зрения их эффективности по затратам управления, времен переходного процесса и динамики. Подробно этим вопросам уделено внимание в работах [1, 6, 15, 21, 28, 29, 31, 39].
До настоящего времени решение задач о стабилизации и управлении движением нелинейных систем с применением функций Ляпунова основывалось на знакоопределенных функциях [7, 13, 20, 22, 25, 30, 31]. В работах [3, 4, 5, 34] показана эффективность использования в этих задачах знакопостоянных функций. Развитие данного направления рассматриваетсяв моей курсовой работе.
МЕТОД ЗНАКОПОСТОЯННЫХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В 3АДАЧАХ О СТАБИЛИ3АЦИИ И СИНТЕЗЕ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
§ 1. Постановка задачи о синтезе управления
Пусть движение некоторой управляемой системы описывается системой дифференциальных уравнений
=
,
(1.1)
где
Є
n
есть вектор-функция переменных, являющихся
некоторыми контролируемыми параметрами,
связанными с движением управляемого
объекта, а
Є Rm
есть вектор-функция управления,
приложенного к объекту.
Пусть
=
есть некоторое частное движение системы,
порождаемое управлением
.
Таким образом, имеем
(1.2)
Примем
за невозмущенное движение, а за возмущенное
движение
будем считать движение, которое также
описывается уравнениями (1.1), но уже при
значениях
,
отличных, вообще говоря, от воздействия
.
Введем переменные
(1.3) где
- возмущения параметров движения,
- отклонения управляющих воздействий
от порождающего управления
.
Из
соотношений (1.1), (1.2) и определения (1.3)
получаем, что возмущенное движение при
отклонении ,
принимаемом за дополнительное управление,
описывается системой уравнений
(1.4)
где
Согласно составленному переходу, имеем соотношения
(1.5)
Будем
предполагать, что правая часть системы
(1.4), вектор-функция
определена и непрерывна для всех
,
за исключением, быть может, точки
и
некоторого заданного множества, где Г
=
,
есть норма в n-мерном
действительном пространстве Rn,
задаваемая в соответствии с конкретной
постановкой задачи, Rm
есть m-мерное
действительное пространство с
соответствующей нормой
Также
будем полагать, что дополнительное
управление u,
целью которого является приведение
системы в движение по закону ,
или по закону х(t)
≡
0 системы (1.4), формируется по цепи обратной
связи с измерением текущих значений
параметров х,
т.е. в виде зависимости
В
соответствии с (1.3) и(1.5) следует принять,
что желательно, чтобы искомое управление
удовлетворяло
условиям
(1.6)
Пусть
U
⊂
Rm
есть класс управлений которые
могут быть построены на основе обратной
связи, определенных и непрерывных в
области
,
за исключением, быть может, точки x
= 0 и некоторого заданного множества.
Допустим,
что для каждого
соответствующие движения
для каждой точки
при
являются
единственными.
Введем
следующие обозначения: —
управляемое движение, удовлетворяющее
начальному условию
и
порождаемое управлением
.
В работе [33] дана следующая постановка задачи синтеза управления для системы (1.4) на конечном отрезке времени.
Определение
1.1.
Задача синтеза управления на конечном
отрезке времени состоит в нахождении
управления
такого, чтобы движение
системы
(1.4), начинающееся в произвольной точке
из
некоторой окрестности х
= 0 в любой начальный момент времени t0,
попадала в конечный момент времени
,
где
,
в заданную точку х
= 0.
При
этом синтез будем называть устойчивым,
если при решающем
поставленную задачу, для любого
,
и для любого ℰ
> 0 существует δ > 0, такое, что
,
если
и
.
Для решения поставленной задачи в [33] применен метод функций Ляпунова. Доказана следующая теорема.
Теорема
1.1.
[33] Рассмотрим управляемый процесс
(1.4). Будем предполагать, что вектор—функция
непрерывна
по совокупности переменных и в области
удовлетворяет условию Липшица
Пусть существует в замкнутой области
функция
,
удовлетворяющая условиям:
1)
при
и
для любого
;
2)
непрерывна всюду и непрерывно
дифференцируема всюду, за исключением,
быть может, точек вида (t,
0) при
;
3)
существует с
> 0, такое, что множество
ограничено и
при
всех
;
4)
существует функция при
,
такая, что справедливо неравенство
при
некоторых
> 0 и
> 0, причем
в области
удовлетворяет условию Липшица
5)
справедливо неравенство
Тогда
движение системы (1.4), начинающееся в
произвольной точке в
начальный момент
оканчивается
в точке х
= 0 в некоторый момент времени
,
где
.
Замечание
1.1.
[33] Если
= +
,
то функция Ляпунова
обеспечивает асимптотическую устойчивость
нулевого решения системы (1.4).
Проведем
дальнейшее развитие результатов работы
[33]. Поставим задачи равномерного синтеза
и синтеза управления равномерного по
на
конечном отрезке.
Определение
1.2.
Задача равномерного синтеза состоит в
нахождении управления ,
такого, что существуют число
и
число
,
такие, что любое движение, начинающееся
в произвольной точке
,
в любой начальный момент времени
,
попадает в заданную точку
при некотором
Определение
1.3.
3адача синтеза управления равномерного
по
состоит в нахождении управления
,
такого, что для любого
найдутся число
и число
,
такие, что любое движение, начинающееся
в точке
в начальный момент времени
,
попадает в заданную точку х
= 0 при некотором
По
отношению к задаче синтеза управления
можно поставить задачу о выборе
управляющего воздействия
с точки зрения наилучшего качества
переходного процесса, состоящего в
достижении минимума функционала
где
ω—
некоторая непрерывная неотрицательная
скалярная функция переменных
,
характеризующая качество переходного
процесса, число
не задано.
Выбор
в
конкретной прикладной задаче проводится
с учетом особенностей ее постановки,
ограничения ресурсов управления,
требования к оценке переходного процесса
и возможностей формы или способа решения
задачи.
Пусть
есть движение, порождаемое управляющим
воздей- ствием
а
— движение, порождаемое управляющим
воздействием
.
Используя введенные выше обозначения, проведем постановку задачи оптимального синтеза.
Определение
1.4.
Задача оптимального синтеза состоит в
нахождении управляющего воздйствия
,
решающего задачу синтеза управления
на конечном отрезке и такого, что по
сравнению с любыми другими управляющими
воздействиями
,
решающими эту задачу, для всех
выполняется
неравенство
≤
при
условиях
3амечание
1.2.
Область
в определении 1.4 принята независимой
от
.
Возможны и другие варианты постановки
задачи об оптимальном синтезе. Например,
с зависимостью
от
,
т.е. когда
Определение
1.5. Задача
равномерного оптимального синтеза
соcтоит
в нахождении управляющего воздействия
,
решающего задачу равномерного синтеза
управления на конечном отрезке, и
оптимального по сравнению с любыми
другими управляющими воздействиями
,
решающими эту задачу.
Соответственно
определению 1.3 можно ввести задачу
oптимального
синтеза равномерного по .
Будем рассматривать также задачи о стабилизации и равномерной стабилизации в следующей классической форме из [60].
Определение
1.6.
[60] 3адача о стабилизации состоит в
нахождении управляющего воздействия
в виде вектор-функции
такой, чтобы невозмущенное движение х
=
0 было бы асимптотически устойчивым в
силу уравнений (1.4) при
.
Определение
1.7.
[60] Задача о равномерной стабилизации
состоит в нахождении управляющего
воздействия
в виде вектор-функции
такой, чтобы невозмущенное движение х
= 0 было бы равномерно асимптотически
устойчивым в силу уравнений (1.4) при
,
с некоторой областью равномерного
движения
.
§ 2 Задачи синтеза управления для автономной управляемой системы
Пусть возмущенное движение управляемой системы описывается уравнениями
(2.1)
где
- n-мерный
фазовый вектор,
-
m-мерный
вектор управления,
—
вектор-функция.
Пусть
есть класс управляющих воздействий
,
которые могут быть построены на основе
обратной связи и удовлетворяют условиям
Так как задача синтеза рассматривается для автономной системы, то
за
начальный момент времени можно принять
,
а ее решения определить в виде
.
Допустим,
что ,
есть некоторое выбранное управ- ление,
под действием которого уравнения
управляемого движения (2.1) принимают
вид
(2.2)
Будем
полагать, что движение
определено и единственно при t
0 для каждой точки
.
Пусть
,
есть скалярная функция, непрерывно
дифференцируемая в области Г, за
исключением, может быть, точки х
= 0 и множества
В
точках
можно определить производную в силу
системы (2.2)
Введем
класс функций типа Хана [94], ,
если
есть непрерывная, строго монотонно
возрастающая функция со значением
.
Определим подкласс
,
такой, что если
,
то при
> 0 выполняется неравенство
,
т.е. интеграл сходится.
Проиллюстрируем методику решения задачи 1.2 в следующей теореме.
Теорема
2.1.
Пусть для системы (2.2) можно найти функцию
Ляпунова
и управляющее воздействие
,
такие, что:
1)
для всех
выполняется соотношение
,
при этом
только при х
= 0;
2)
функция
Тогда
решает задачу устойчивого синтеза
управления на конечном отрезке времени.
Доказательство.
Покажем, что синтез управления является
устойчивым, т.е. покажем, что при
для любого
> 0 существует
> 0, такое, что
,
если
и
,
если
,
или
.
Возьмем
любое .
Обозначим
Наименьшее
значение достигается, так как функция
непрерывна и положительна при
согласно условию 1) теоремы.
В
качестве
выберем такое число, что
Из
непрерывности функции
и условия
следует, что такое число обязательно
найдется.
Введем
функцию
Условие 2) теоремы означает, что функция
не возрастает вдоль ре- шений системы
(2.2) при управляющем воздействии
.
Отсюда, при
и
или
получим
следовательно,
для всех
.
Пусть
движения (2.2) из области
ограничены и
-
какое-либо движение.
Вычислим
производную от функции
по t
в силу системы (2.2) на движении
.
Имеем по условию 2) теоремы