- •Введение
- •1. Тематика курсовых работ
- •2. Объем и требования к оформлению курсовой работы
- •3. Примеры типовых заданий по курсовым работам
- •4. Некоторые особенности моделирования сау
- •4.1 Уравнения состояния непрерывных динамических систем
- •4.2 Особенности математического описания линейных дискретных систем
- •4.3 Математические модели дискретных (цифровых) сау
- •Список литературы
4. Некоторые особенности моделирования сау
4.1 Уравнения состояния непрерывных динамических систем
Уравнения состояния для динамического объекта, имеющего один входной сигнал u и один выходной сигналy, могут быть записаны в виде
(4.1)
где
, (4.2)
а - транспонированный по отношению к векторувектор.
Отметим, что в (4.1) d=0, если порядок полинома числителя передаточной функции системы меньше порядка полинома знаменателя, т. е. коэффициент прямой передачи со входа на выход равен нулю.
Чаще всего в качестве переменных состояния принимается выходной сигнал и (n-1) его производных. Преимущества такого подхода – простота представления результатов. Кроме того, такое представление возможно для нелинейного дифференциального уравнения общего вида. Такая форма представления – нормальная форма или форма Коши.
В качестве примера представим в нормальной форме Коши линейный динамический элемент (объект управления), описываемый передаточной функцией:
(4.3)
Здесь передаточная функция представлена в операторной форме; p=d/dt – оператор дифференцирования; для упрощения выражений примемa0=1.
В соответствии с нормальной формой переменные состояния будут
(4.4)
Уравнения (4.4) можно записать в матричной форме (4.1), где
(4.5)
Причём, a0=1.
Начальное состояние рассматриваемого динамического элемента определяется значением вектора x(0).
В случае, когда передаточная функция динамического элемента имеет более общий вид:
(4.6)
матрица A имеет тот же вид (4.5), а матрица (вектор-столбец)bбудет
(4.7)
где
(4.8)
а выходной сигнал
(4.9)
Таким образом, в (4.1) d=k0=b0.
В тех случаях, когда порядок полинома числителя меньше порядка полинома знаменателя получаем, как и раньше,
В общем случае для многомерных стационарных динамических систем (например, многосвязных объектов управления) уравнения состояния в нормальной форме Коши имеют вид
(4.10)
Найдём связь между описанием в пространстве состояний и описанием в виде матричной передаточной функции многомерной динамической системы.
Обозначим через n-мерный вектор состояния в области изображений Лапласа; через-r-мерный вектор входных сигналов и-m-мерный вектор выходных координат рассматриваемой системы. Соотношение между этими векторами устанавливается передаточными матрицамиразмерасоответственно:
(4.11)
(4.12)
Откуда следует, что элемент матрицыпредставляет собой изображение по Лапласу импульсной переходной функции поi-й координате состояния относительноj-го входного сигнала при равенстве нулю всех других входных сигналов.
При нулевых начальных условиях, применив к (4.10) преобразование Лапласа, получим
и далее
В соответствии с (3.32) и (3.33) получим
(4.13)
(4.14)
где - обратная матрица по отношению к матрице.
4.2 Особенности математического описания линейных дискретных систем
В противоположность непрерывным сигналам, которые описываются непрерывными функциями времени, дискретные сигналы могут принимать лишь дискретные значения в дискретные моменты времени. Они представляют собой последовательности импульсов, появляющихся в определенные моменты времени. Обычно дискретный сигнал получается в результате периодического прерывания непрерывного сигнала с постоянным тактом.
Для получения разностного уравнения достаточно любую дискретную функцию, зависящую от другой дискретной функции, представить в рекуррентной форме. Линейное разностное уравнение порядка nимеет вид
(4.15)
Здесь аргумент (- такт квантования по времени) заменен индексомk. Величину выходного сигнала при любомkможно вычислить с помощью рекуррентной формулы
(4.16)
если известны текущее значение входа ипредшествующих значений, а также соответствующие значения выхода –.
На основе (3.15) можно записать дискретную передаточную функцию, используя теорему z-преобразования о сдвиге вправо
(4.17)
После подстановки в разностное уравнение (4.15) индексов, изменяющихся от kдо k+n, получим
(4.18)
Последнее равносильно представлению (3.38) в виде
(4.19)
Переход к описанию дискретной системы в пространстве состояний может осуществляться различными способами. Один из самых простых заключается в прямой подстановке переменных состояния в разностное уравнение (4.18):
(4.20)
(4.21)
Подставим выражение (4.21) в уравнение (4.18), положив
(4.22)
Это соотношение можно представить в форме векторного разностного уравнения
и уравнения выхода
Обозначим вектор переменных состояния x, матрицу системыA, вектор передачи управления (входного сигнала)bи вектор наблюденияc:
(4.23)
(4.24)
Если то уравнения (4.19) и (4.20) можно представить в форме
(4.25)
Если же уравнения (4.19) и (4.20) приводятся к виду
или
(4.26)
Кроме того, используя уравнение (4.21), можно получить выражение
(4.27)
Определив из соотношения (4.22), получаем окончательный результат
(4.28)
Это обобщённое уравнение выхода можно также записать в векторной форме:
или
(4.29)
При =1, т. е. для систем без прямой передачи входного воздействия, уравнение (4.29) приобретает вид
Распространяя представление линейных дискретных систем с одним входом и одним выходом в пространстве состояний на линейные многомерные системы с r входамиu(k) иmвыходамиy(k), получим следующие матричные уравнения:
(4.31)
(4.32)
где x(k) – вектор состояния размерности- вектор управления (входов) размерности;y(k)– вектор выхода размерности;A – собственная матрица системы размерности;B– матрица управления размерности;C – матрица выхода (измерений) размерности;D –матрица входа/выхода (прямой передачи) размерности.