2.2 Задача о распределении

На складах хранится мука, которую необходимо завезти в хлебопекарни. Номера складов и номера хлебопекарен даны в таблице 12. Текущие тарифы перевозки муки [руб./т], ежемесячные запасы муки [т/мес.] на складах и потребности хлебопекарен в муке [т/мес.] указаны в таблице 13.

При этом необходимо учитывать, что из-за ремонтных работ временно нет возможности перевозить муку с некоторых складов в некоторые хлебопекарни. В таблице 12 это показано в графе «Запрет перевозки» в формате № склада × № хлебопекарни.

Кроме того, необходимо учесть, что некоторые хлебопекарни имеют договоры на гарантированную поставку муки с определенных складов. В таблице 12 это показано в графе «Гарантированная поставка» в формате № склада × № хлебопекарни = объем поставки.

Необходимо организовать поставки наилучшим образом, учитывая, что мука хранится и транспортируется в мешках весом 50 кг.

Таблица 12

Номер склада, хлебопекарни, запрещенные и гарантированные поставки

№ варианта	№ складов	№ хлебопекарен	Запрет перевозки	Гарантированная поставка, т/мес.
4	1,2,3,4	3,4,5	3×3,4×5	3×5=40

Таблица 13

Запасы, потребности и тарифы перевозок

Склады	Хлебопекарни
	3	4	5	Запас, т/мес.
1	800	200	200	80
2	500	600	500	70
3	100	600	300	60
4	200	400	900	55
Спрос, т/мес.	58,88	62,44	73,92

Согласно условию задачи мука хранится и перевозится в мешках по 50 кг, то есть единицами измерения переменной Х_ij является мешок муки. Но запасы муки на складах и потребности в них хлебопекарен заданы в тоннах. Поэтому для проверки баланса и дальнейшего решения задачи приведем эти величины к одной единице измерения – мешкам.

Также стоимость перевозки муки должна быть отнесена к единице продукции, то есть к мешку муки. Для упрощения задачи, исключим объем гарантированных поставок из рассмотрения. Данные приведены в таблице 14.

Таблица 14

Исходные данные

Склады	Хлебопекарни
	3	4	5	Запас, меш.
1	40	10	10	1600
2	25	30	25	1400
3	5	30	15	400
4	10	20	45	1100
Спрос, меш/мес.	1178	1249	679

Необходимо проверить сбалансированность матрицы. Для этого сравним спрос муки в хлебопекарнях и запас муки на складах. Суммарный спрос равен 3106 мешкам, тогда как суммарный запас равен 4500 мешкам. Для того чтобы сбалансировать матрицу, введем фиктивную хлебопекарню Ф, спрос у которой будет равен 1394 мешкам. Тариф перевозки в фиктивную хлебопекарню будет равен нулю, т.к. фактически перевозка не осуществляется. Сбалансированная транспортная матрица приведена в таблице 15.

Таблица 15

Сбалансированная транспортная матрица

Склады	Хлебопекарни
	3	4	5	Ф	Запас, меш.
1	40	10	10	0	1600
2	25	30	25	0	1400
3	1000	30	15	0	400
4	10	20	1000	0	1100
Спрос, меш/мес.	1178	1249	679	1394	спрос=запас

Для выполнения условия о запрете перевозки из склада 3 в хлебопекарню 3, и из склада 4 в хлебопекарню 5, применим запрещающие тарифы исходя из условия невыгодности перевозки.

Построим математическую модель задачи:

1) целевая функция:

F(x)=40x₁₁+10x₁₂+10x₁₃+0x₁₄+25x₂₁+30x₂₂+25x₂₃+0x₂₄+1000x₃₁+30x₃₂+15x₃₃+0x₃₄+10x₄₁+20x₄₂+1000x₄₃+0x₄₄→min [руб./мес.];

2) ограничения:

х₁₁+х₁₂+х₁₃+х₁₄=1600;

х₂₁+х₂₂+х₂₃+х₂₄=1400;

х₃₁+х₃₂+х₃₃+х₃₄=400;

х₄₁+х₄₂+х₄₃+х₄₄=1100;

х₁₁+х₂₁+х₃₁+х₄₁=1178;

х₁₂+х₂₂+х₃₂+х₄₂=1249;

х₁₃+х₂₃+х₃₃+х₄₃=679;

х₁₄+х₂₄+х₃₄+х₄₄=1394;

x_ij≥0

Рисунок 9 – Решение задачи в Maple

На рисунке 9 представлено решение данной задачи в программном пакете Maple 12. Для наглядности, перепишем полученное решение в таблицу (таблица 16).

Таблица 16

Решение задачи

Склады	Хлебопекарни
	3	4	5	Ф	Запас, меш.
1	0	1249	351	0	1600
2	78	0	0	1322	1400
3	0	0	328	72	400
4	1100	0	0	0	1100
Спрос, меш/мес.	1178	1249	679	1394	спрос=запас

Величина целевой функции, т.е. общие затраты на перевозку, составила 33870 руб./мес. Но принимая во внимание то, что мы исключили рассмотрение гарантированной поставки из рассмотрения, это значение следует скорректировать: 33870+(40*300)=45870 руб./мес.