Производная функции

Производная функция от функции в данной точке определяется равенством

.

Таблица производных выглядит следующим образом:

1. . 2. .

3. , в частности .

4. , в частности .

5. . 9. .

6. . 10. .

7. . 11. .

8. . 12. .

Основные правила дифференцирования

1. 2. , в частности, 3. , где

Задача 21. Найти производные следующих функций:

а) ; б) .

Решение. а) Преобразуем выражение в скобках, переходя к дробным и отрицательным показателям. Получим

.

Используя правило дифференцирования произведения и суммы находим =

=.

б) Проведем предварительное преобразование функции:

=.

Используя правила дифференцирования произведения, суммы и частного, получим

=

=.

Дифференцирование сложной функции

Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и

,

где индекс внизу показывает, по какой переменной берется производная.

Задача 22. Найти производные следующих функций:

а) ; г) ;

б) ; д) .

в) ;

Решение. а) Функцию представим как композицию функций и . Используя таблицу производных, находим: , .

Тогда

.

б) Функцию представим как композицию функций ,

и .Найдем производные по промежуточным аргументам: , и .

Производную сложной функции находим по формуле . Окончательно получим =.

Аналогично решается задача в:

=

==.

г) Предварительно упростив выражение, определяющее функцию, до вида

,

находим производную:

.

д) Прологарифмируем обе части равенства, задающего функцию

.

Находя производные от левой и правой частей этого тождества, получим

Вычисляя производную от правой части тождества и решая уравнение относительно , получим

.

Производные высших порядков

Производная от функции также определяется функцией от и может быть дифференцируема.

Производная от производной функции называется производной второго порядка от функции и обозначается:

.

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и более высоких порядков.

Задача 23. Найти и для функции ;

Решение. Найдем сначала :

==.

Затем находим вторую производную:

=

.

Контрольная работа № 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1.1-1.10. Даны векторы a, b, cи d в некотором базисе. Показать, что векторы a,b,c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

1.1. а(1,2,3),b(-1,3,2),c(7,-3,5),d(6,10,17)

1.2. a(4,7,8), b(9,1,3), c(2,-4,1), d(1,-13,-13)

1.3. a(8,2,3), b(4,6,10), c(3,-2,1), d(7,4,11)

1.4. a(10,3,1), b(1,4,2), c(3,9,2), d(19,30,7)

1.5. a(2,4,1), b(1,3,6), c(5,3,1), d(24,20,6)

1.6. a(1,7,3), b(3,4,2), c(4,8,5), d(7,32,14)

1.7. a(1,-2,3), b(4,7,2), c(6,4,2), d(14,18,6)

1.8. a(1,4,3), b(6,8,5), c(3,1,4), d(21,18,33)

1. 9. a(2,7,3), b(3,1,8), c(2,-7,4), d(16,14,27)

1.10. a(7,2,1), b(4,3,5), c(3,4,-2), d(2,-5,-13)

1.11-1.20. Даны координаты вершин пирамиды . Найти:

1. длину ребра ;

2. угол между ребрами и ;

3) угол между ребром и гранью ;

4) площадь грани ;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой ;

7) уравнение плоскости ;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

1.15.

1.16

1.17.

1.18.

1.19.

1.20.

1.21-1.30. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Крамера; 2) медотами матричного исчисления.

1.21. 1.22.

1.23. 1.24.

1.25. 1.26.

1.27. 1.28.

1.29. 1. 30.

Библиографический список

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -М.: Наука, 1976. - 200 с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Т.2.-M.: Наука, 1985.- 560 с.