Элементы математического анализа Пределы и непрерывность
Отметим некоторые теоремы о пределах, которые часто применяются для решения задач.
Если существуют
конечные пределы
и
,
то
1)
;
2)
;
3)
( если
).
Отметим еще два замечательных предела и следствия из них:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Задача 19. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
а)
;
г)
;
б)
;
д)
;
в)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
.
м)
.
Очевидно, что в каждой из перечисленных задач нельзя непосредственно применить теоремы 1-3.
Решение.
а) Если
,
то для нахождения предела частного двух
многочленов достаточно разделить и
числитель, и знаменатель дроби, стоящей
под знаком предела, на
,
где
- степень многочлена, стоящего в
знаменателе:
.
Здесь мы
воспользовались равенством
при
.
б) Прежде чем
решать эту задачу, отметим, что если два
многочлена
и
обращаются в нуль при
,
т.е.
,
то они представляются в виде
и
.
И тогда
и т.д.
Постараемся свести
нашу задачу к указанному случаю предела
частного двух многочленов, для чего и
числитель, и знаменатель дроби, стоящей
под знаком предела, умножим на
,
избавившись тем самым от иррациональности
в знаменателе. Итак,
.
в) Для решения этой задачи воспользуемся первым замечательным пределом:
(Так как
при
).
г) Для решения данной задачи воспользуемся вторым замечательным пределом:
.
Последнее равенство
вытекает из того, что в квадратной скобке
стоит
,
где
.
д) Для решения этой задачи применим первое следствие из второго замечательного предела:
( Здесь
).
Решения задач е, ж аналогичны решению задачи а.
Например, задача ж имеет следующее решение:
.
Задача 20.
Задана функция
аналитическими выражениями для различных
областей изменения независимой
переменной:
Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
Решение.
Из непрерывности элементарных функций
на их естественной области определения
следует, что точками разрыва нашей
функции могут быть только точки
и
.
Исследуем функцию на непрерывность в
указанных точках, для чего найдем пределы
функции справа и слева в этих точках.
Если предел справа будет равен пределу
слева и совпадет со значением функции
в точке, то функция в точке непрерывна:
;
;
.
Из этих равенств
следует непрерывность функции в точке
.
Проверим, будет ли функция непрерывна
в т.
:
;
.
Так как
,
то в точке
функция терпит разрыв первого рода
(пределы справа и слева существуют и
конечны).
Для того чтобы
сделать чертеж, изобразим графики
функций
для
;
для
и
для
(рис. 3).
Рис.3