Элементы аналитической геометрии
Точка
принадлежит поверхности, заданной
уравнением
,
тогда и только тогда, когда
.
Задача 10.
При каких значениях параметра
точка
будет принадлежать окружности
?
Ответ:
.
Если заданы две
поверхности (линии)
и
,
то координаты точек пересечения являются
решениями системы уравнений
Задача 11. Найти точки пересечения линий:
.
Ответ:
.
Уравнения плоскости
Общее уравнение плоскости имеет вид
(8)
Вектор
- перпендикулярен к плоскости, задаваемой
уравнением (8). Вектор
называется вектором нормали к плоскости
или ее нормальным вектором.
Уравнение плоскости,
проходящей через точку
перпендикулярно вектору
,
имеет вид
.
(9)
Условие параллельности плоскостей
и
является одновременно
и условием коллинеарности векторов
и
и записывается в виде:
.
Условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид
.
Уравнение плоскости,
проходящей через 3 точки
,
имеет вид
.
Уравнения прямой
-
Уравнения прямой в пространстве
Канонические
уравнения прямой в пространстве имеют
вид
,
где точка
лежит на прямой, а вектор
является направляющим вектором прямой
(он параллелен прямой). Очевидно, что
условия параллельности и ортогональности
направляющих векторов есть условия
параллельности и ортогональности
прямых. Если известен вектор нормали
плоскости, то условие параллельности
векторов
и
является условием ортогональности
прямой и плоскости, а условием
ортогональности векторов
и
будет условием параллельности прямой
и плоскости.
2. Уравнение прямой на плоскости.
а) Каноническое
уравнение прямой на плоскости имеет
вид
,
где точка
лежит на прямой, а вектор
является направляющим вектором прямой
(он параллелен прямой).
б) Общее уравнение
прямой на плоскости имеет вид
.
Легко видеть, что вектор
является направляющим вектором прямой
(он параллелен прямой). Вектор
называется нормалью к прямой (он
перпендикулярен к прямой).
в) Часто используется
уравнение с угловым коэффициентом:
,
где
равен тангенсу угла между данной прямой
и осью ОХ.
Две прямые параллельны, если их направляющие векторы параллельны. Если две прямые перпендикулярны, то нормаль к одной из прямых является направляющим вектором другой прямой.
Задача 12.
Дана точка
и прямая
.
Найти прямую, проходящую через заданную
точку:
а) параллельно данной прямой;
б) перпендикулярно данной прямой.
Решение.
Вектор нормали
к данной прямой имеет координаты
,
а направляющий вектор
.
а) Тогда уравнение
искомой прямой, параллельной данной
прямой, имеет вид :
или, переходя к
общему уравнению прямой, получаем
.
б) Тогда уравнение
искомой прямой, перпендикулярной к
данной прямой, имеет вид:
или, переходя к
общему уравнению прямой, получаем
.
Задача 13.
При каком значении
прямая
будет параллельна плоскости
?
Ответ:
.
Задача 14.
Найти каноническое уравнение прямой,
проходящей через две заданные точки:
.
Решение.
Очевидно, в качестве направляющего
вектора можно взять вектор
.
Следовательно, искомое уравнение будет
иметь вид
.
Задача 15.
Даны координаты вершин пирамиды:
,
,
,
.
Найти: 1) длину ребра
;
2) угол между ребрами
и
;
3) угол между ребром
и гранью
;
4) площадь грани
;
5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой
;
7) уравнение плоскости
;
8) уравнение высоты, опущенной на грань
(рис.1).
Рис.1
Решение:
1) длина ребра
есть длина вектора
.
Следовательно,
;
2) угол между ребрами
и
есть угол между векторами
и
.
Поэтому
.
Отсюда следует,
что
;
3) угол
между гранью
и ребром
есть угол между наклонной
и плоскостью, задаваемой точками
.
Из чертежа видно (рис.2), что
,
где
- угол между вектором нормали
плоскости
и направляющим вектором
прямой.
Так как по определению
векторного произведения вектор
перпендикулярен плоскости
,
то его можно взять в качестве вектора
нормали
.
Итак,
.
Найдем вектор
:
.
Рис.2
Но тогда
.
Отсюда
.
Искомый угол
.
4) площадь грани
;
5)
.
Но так как
,
то
;
6) в качестве
направляющего вектора прямой
можно взять
.
Поэтому уравнение прямой имеет вид
или
7) плоскость
проходит через точку
перпендикулярно вектору
.
Поэтому уравнение грани
имеет вид
.
Окончательно
.
8) в качестве
направляющего вектора высоты
можно взять вектор
нормали плоскости
.
Поэтому уравнение искомой высоты имеет
вид
.