Матрицы и их приложения

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел

,

имеющая строк (одинаковой длины) и (одинаковой длины) столбцов.

Элементы матрицы снабжаются двумя индексами, первый из которых обозначает номер строки, второй - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент . Если матрица имеет строк и столбцов, то матрицу называют квадратной. Квадратную матрицу вида

называют единичной матрицей.

Часто матрицы кратко обозначают так: , т.е. меняется от 1 до , а - от 1 до .

Матрицы одинакового размера , называют равны-ми, если .

Матрицы одинакового размера можно складывать. При этом суммой матриц и называют матрицу , для которой .

Например,

.

Произведением матрицы на число называют матрицу , каждый элемент которой . Например,

.

Задача 16. Даны матрицы и :

; .

Найти матрицы: a) , б) , в) .

Решение. а) ; ;

;

б) ; ;

;

в) ; ;

.

Произведением матрицы размером на матрицу размером называют матрицу C размером , каждый элемент которой

, где ; .

То есть элемент – ой строки и – го столбца матрицы произведения равен сумме произведений элементов – ой строки матрицы на соответствующие элементы – го столбца матрицы .

Если определено произведение ,то это не значит, что определено произведение . Это произведение может не иметь смысла. Если выполняется , то матрицы называются перестановочными, или коммутирующими. Отметим сразу же, что обычно .

Задача 17. Даны матрицы и :

; .

Найти матрицы и .

Решение.

.

.

Примечание. Непосредственной проверкой легко убедиться, что если - квадратная матрица размера и - единичная матрица того же размера, то .

Обратные матрицы

Квадратная матрица называется обратимой, если существует матрица такая, что . Эту матрицу называют обратной к матрице и обозначают .

Каждой квадратной матрице соответствует определитель . Оказывается, что если , то . Так как , то .

Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является условие .

Алгебраическим дополнением элемента называется произведение числа на определитель, получающийся при вычеркиванием -ой строки и -го столбца. Например, определитель

имеет следующие алгебраические дополнения:

;;;.

Если определитель матрицы отличен от нуля , то обратную матрицу строят следующим образом:

1) находят все алгебраические дополнения;

2) составляют матрицу алгебраических дополнений ;

3) транспонируют матрицу B и умножают на число .

Полученная матрица и будет обратной матрицей.

Задача 18. Решить матричным способом систему уравнений

Решение. Положим, что

; ; .

Тогда матричная запись рассматриваемой системы уравнений будет иметь вид

. (10)

Найдем определитель матрицы :

.

Так как , то существует обратная матрица . Умножая слева на матрицу равенство (10), получим, что или . Найдем обратную матрицу :

; ; ;

; ; ;

; ; .

Обратная матрица .

Но тогда .

Ответ: