Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Вектором на прямой плоскости и в пространстве в дальнейшем будем называть направленный отрезок, то есть отрезок с указанием его начала и конца. Для векторов определены операции сложения векторов и умножения вектора на число. Эти операции и их свойства подробно рассматриваются в [1]. Здесь же можно познакомиться с определениями базиса, координат вектора в выбранном базисе, скалярного и векторного произведения и другими понятиями.
Известно, что если
произвольные векторы в декартовом
базисе
, то
.
Условие коллинеарности
векторов
и
можно записать в виде
.
Длина вектора
вычисляется по формуле:
.
Если известны
координаты точек
,
то
вектор
.
Координаты точки
,
являющейся серединой отрезка
,
определяются по формулам:
(1)
Задача1.
Заданы координаты трех точек:
,
,
.
Найти :
1) векторы
;
2)
;
3) длину вектора
.
Решение.
1)
,
;
2) найдем
;
3) вначале найдем координаты вектора
;
.
Задача 2.
Даны координаты двух точек
.
Найти точку
так, чтобы точка
была серединой отрезка
.
Решение.
Пусть точка
имеет координаты
.
Так как точка
- середина отрезка
,
то по формулам (1) имеем:
Отсюда находим:
Задача 3. При
каких значениях параметров
и
векторы
и
будут коллинеарными?
Решение.
Векторы
,
если
.
Отсюда следует,
что
и
.
Решая эти пропорции,
получим:
.
Ответ:
.
Задача 4.
Дан вектор
.
Найти единичный вектор
,
коллинеарный и одинаково направленный
с вектором
.
Решение.
Пусть вектор
имеет координаты
.
Так как векторы
и
коллинерны, их координаты пропорциональны,
то
.
Обозначая через
коэффициент пропорциональности, получим
.
Отсюда находим,
что
,
вектор
имеет вид
.
По условию
.
Но
.
Отсюда получим
уравнение
.
Решая его, находим
два значения параметра:
.
Но второе значение параметра
не подходит, так как в этом случае вектор
и, следовательно, направлен в противоположную
вектору
сторону.
Скалярное произведение векторов
По определению
скалярное произведение векторов
и
равно
,
где
- угол между векторами.
Отметим, что
скалярное произведение часто записывается
в виде
.
Если известны
координаты векторов
и
в ортонормированном базисе
,
то
.
Из определения
скалярного произведения следует, что
и
ортогональны (перпендикулярны) тогда
и только тогда, когда
.
Задача 5.
Определить внутренние углы
c вершинами
.
Решение.
Найдем
.
Для этого надо найти векторы
и
.
Зная векторы
и
,
из формулы (2) получим
Легко видеть, что
.
Тогда
.
Отсюда
.
Аналогично, находя
предварительно, что
,
получим
.
Отсюда
и
.
Задача 6.
При каких значениях параметра
векторы
будут ортогональны?
Решение.
Векторы будут ортогональны, когда
.
Так как
,
то получаем уравнение
.
Отсюда следует, что
.