лекции / lekcii_osnovy_teorii_sistem_upravleniya / 2

Основы теории линейных непрерывных систем управления

Лекция 2 Элементарные (типовые) звенья, передаточные функции

и уравнения непрерывных стационарных систем управления

Содержание лекции.

Элементарные (типовые) звенья стационарных систем и их динамические характеристики

1.Усилительное звено

2.Интегрирующее звено

3.Апериодическое звено

4.Колебательное звено

5.Дифференцирующее звено

6.Запаздывающее звено

7.Аппарат структурных преобразований. Передаточные функции и уравнения непрерывных систем

8.Передаточные функции статических и астатических систем

9.Передаточные функции многоконтурных систем

10.Дифференциальные уравнения непрерывных систем

Выводы

1

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗВЕНЬЯ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ И ИХ ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Структурную схему системы можно представить как соединение типовых элементарных звеньев, порядок дифференциальных уравнении которых не вышe второго.

Рассмотрим динамические характеристики типовых звеньев; они строятся с использованием тех

y

x(t)=Ux(t)

y(t)=h(t)

x

Рис. 1.83. Примеры интегрирующих звеньев:

а -электродвигатель постоянного тока; б - резервуар с входным трубопроводом

Очевидны следующие зависимости для: динамических характеристик:

Графики k(t), h(t)приведены на рис. 1.84 и 1.85.

2

Построим частотные характеристики. Имеем передаточную функцию к

p

p

отсюда

Амплитудно-фазовая характеристика W(jω) определяется формулой

При изменении частоты ω от 0 до ∞ конец вектора W(jω) движется по отрицательной части мнимой оси от -∞до 0 (рис. 1.86).

Рис. 1.86. АФХ интегрирующего звена

Интегрирующее звено создаст отставание выходного гармонического сигнала на 900 на всех частотах (рис. 1.87); амплитуда выходного сигнала уменьшается с возрастанием частоты (рис. 1.87).

АЧХ имеет вид

Графики А(ω)и (ω) приведены на рис. 1.87.

Выражение для логарифмической частотной характеристики запишется так:

3

Рис. 1.87. АЧХ и ФЧХ интегрирующего звена

В зависимости (1.177) график - прямая линия, поскольку L(ω) == К0+ К1lgω, так как ось абсцисс -lgω. Построим (1.177). Имеем ω = l; тогда

20lgK - 20lg1= 20lgK.

Пусть ω = 10; находим значение ЛАЧХ:

L(10) = 20lgK -20lg10 = {lg10 = log1010 = l} = 20lgK - 20. (1.178)

Таким образом, имеем график (рис. 1.88).

Рис. 1.88. JIЧХ и ЛФЧХ интегрирующего звена

Из этого рисунка видно, что при изменении частоты на одну декаду значение ЛАЧХ изменится на -20

Величины К иТ соответственно называются коэффициентом усиления и постоянной времени апериодического звена.

Примеры апериодических звеньев представлены на рис. 1.89.

4

y

x(t) = U1(t)

Рис. 1.89. Примеры апериодических звеньев:

а - электрический RC - фильтр; б - резервуар со сжатым газом; в - процесс закалки детали в жидкости

Поскольку W(p)= Y(p)/X(p), то справедлива зависимость

Отсюда следует

Преобразование Лапласа имеет вид

p

y

p

Рис. 1.90. Структурная схема апериодического звена

При рассматриваемом подходе начальное условие y(0)как входной сигнал надо считать δ - функцией с весом y(0), т.е, y(0)δ(t)(далее будет использоваться схема, представленная на рис. 1.90, б).

По известным формулам достаточно просто получить зависимости, определяющие импульсную переходную функцию и переходную характеристику:

p

p

p

ИПФ и ПХ изображены на рисунках 1.91 и 1.92.

5

Рис. 1.91. ИПФ апериодического звена

Первая составляющая -это установившейся процесс, второй же член обусловлен полюсам ПФ и является собственным движением. Функция е-t/Tуменьшается до менее чем 2% от своего начального значения за 4Т и менее чем 1% - за 5Т. На практике обычно считают, что экспоната уменьшается до нуля за время от 4Т до 5Т. Таким образом, можно считать, что реакция системы на x(t)= l(t) практически заканчивается через (4 - 5)Т и, следовательно, Т[с] является мерой быстродействия.

Найдем частотные характеристики. Имеем следующую зависимость:

6

p

p

АФХ апериодического звена определяется формулой

и имеет вид (рис. 1.93).

Рис. 1.93. АФХ апериодического звена Выражение для АЧХ запишется так:

ФЧХ определяется формулой

(ω) = ArgW(jω)= -arctgrωТ. (1.190)

Графики А(ω) и (ω) изображены на рис. 1.94.

Рис. 1.94. А ЧХ и ФЧХ апериодического звена

7

На частотах ω1 ω ЛАЧХ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. 2. ω1 ω; тогда

3.Рассмотрим, чему равна L(ω) при ω = ω1и ω = 10ω1Пусть ω = ω1, тогда из (1.193) находим

Пусть ω = 10ω1, тогда

ЛАЧХ представлена на рис. 1.95 и 1.96.

Рис. 1.95. Приближенная (асимптотическая) ЛАЧХ апериодического звена

Рис. 1.98. Переходная характеристика колебательного звена при различных значениях ;

Рис. 1.99. ИПФколебательного звена (Т = l, К = 1)

Перейдем к рассмотрению частотных характеристик. Найдем АФХ звена:

10