Скачиваний:
74
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
781.82 Кб
Скачать

6

6 Лекция

Математические модели импульсных систем в виде разностных уравнений и структурных схем.

6.1 Математические модели импульсных систем в виде системы разностных уравнений.

Рассмотрим дискретное время, заменим производную конечной разностью

(1)

запишем (1) в виде рекуррентного соотношения

(2)

(3)

(4)

Соотношение (3) – разностное уравнение, описывающее импульсную систему.

Запишем Z – преобразование для нулевых начальных условий.

(5)

- передаточная функция

(6)

Характеристическое уравнение системы:

Для непрерывных функций

Для импульсных функций

Для исследования импульсных систем могут быть использованы методы теории линейных непрерывных систем. Для этого необходимо выполнить конформное отображение плоскости комплексного переменного Z на плоскость комплексного переменного W т.о., чтобы единичная окружность перешла в мнимую ось на плоскости комплексного переменного W, а внутренность единичного круга отобразилась на левую полуплоскость Re W<0 (см.рис.1 предыдущей лекции).

Такое отображение выполняется с помощью дробно-линейного преобразования

z

W

Im

Im

=+- /T 1 0

=0 Re Re

б) в)

Рис.1

Например,

Нули отображаются в нули по формуле .

Отсюда

.

Таким образом, можно привести обобщенную структурную схему импульсной системы

Идеальный импульсный элемент

- Приведенная непрерывная часть.

Для такого класса импульсных систем можно построить теорию.

6.2 Построение дискретной модели стационарной стохастической системы

Здесь мы коротко остановимся на алгоритме дискретизации системы линейных дифференциальных уравнений. Алгоритм позволяет моделировать процессы в СУ с помощью рекуррентных процедур.

Пусть линейная стохастическая система описывается матричным дифференциальным уравнением

(7)

где - матрицы постоянных коэффициентов порядков ; Х – n –мерный вектор-столбец; - n-мерный гауссовский «белый шум», т.е. векторный процесс, компоненты которого - независимые между собой гауссовские процессы с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией

.

Здесь - -функция Дирака, «Т» - символ транспонирования.

Перейдем от дифференциального уравнения (7) к дискретной модели. Запишем уравнение (7) в следующем виде:

(8)

где - матричный экспоненциал, т.е. матричная функция времени t, определяемая матричным рядом

I – единичная матрица. Элементами матричного экспоненциала являются весовые функции системы (7). Для матричного экспоненциала известно следующее свойство:

Введем шаг дискретизации , тогда в момент вектор Х() определится из соотношения

(9)

Из (8) и (9) следует, что полученная после дискретизации последовательность удовлетворяет уравнению

(10)

Здесь

(11)

а гауссовские вектора и - независимы.

Компоненты матрицы А равны значению весовых функций в момент . Из условия равенства нулю математического ожидания

следует, что . Корреляционная матрица n – мерного вектора равна:

Так как корреляционная матрица процесса равна то двойной интеграл обращается в однократный:

После замены переменной интегрирования интеграл примет вид

(12)

Поэтому корреляционная матрица К векторов не зависит от момента времени t. Отметим, что матрица имеет порядок . Элементами являются весовые функции системы (7) по входу .

Из (10) следует, что при корреляционная матрица вектора определяется рекуррентным соотношением

(13)

При существует предел (13)

представляющий корреляционную матрицу стационарного СП на выходе системы (7).

Представим К в виде

(14)

где В – матрица порядка , r – ранг матрицы К. Используя (14), получаем уравнение дискретной модели СУ:

(15)

Здесь r – мерные вектора - удовлетворяют условиям и при . Стационарное решение уравнений (7) и (15) может быть получено, если корреляционная матрица начального условия равна .

Изложенные выше соотношения позволяют строить удобный для реализации на ЭВМ и экономичный вычислительный алгоритм моделирования линейных стохастических систем.

Алгоритм моделирования.

Исходными данными алгоритма являются матрицы , параметр и шаг дискретизации . Алгоритма предполагает проведение вычислений в следующей последовательности.

  1. Вычисление матрицы А.

Из (11) следует, что i-тый столбец матрицы А равен:

где - n-мерный вектор, все компоненты которого, за исключением i-той, равны нулю. Из (8) следует, что является решением системы

(16)

в момент времени . Поэтому для вычисления матрицы А необходимо n раз интегрировать однородную систему (16) на промежутке при начальных условиях

  1. Вычисление матрицы К

Элементы симметричной матрицы К определяются соотношениями

(17)

где элемент матрицы является i-той компонентой вектора , удовлетворяющего системе

(18)

Здесь - r – й столбец матрицы . Поэтому вычисление элементов осуществляется путем одновременного интегрирования системы (18) и уравнений

(19)

на промежутке при нулевых начальных условиях для функций . После m-кратного интегрирования системы (18), (19) элементы матрицы К получаются суммированием .

При операция суммирования элементов может быть учтена с помощью начальных условий вводимых при вычислении по следующему алгоритму:

(20)

  1. Вычисление матрицы .

Определение осуществляется с помощью рекуррентной процедуры (13) при нулевых начальных условиях.

4) Вычисление матрицы .

Матрица В определяется условием и находится с помощью известных процедур.

5) Начальное условие формируется как гауссовский случайный вектор . Эти операции заканчивают подготовительный этап вычислений. Цифровое моделирование осуществляется (после определения А, В, ) по формуле (15).

Соседние файлы в папке В. А. Бородавкин, И. Л. Петрова -ТАУ дискретных систем