Добавил:

student_tipo Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балаковский институт техники, технологии и управления

Предмет:

Теория автоматического управления

Файл:

4 Лекция

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

22.02.2014

Размер:

266.75 Кб

Скачать

☆

4 Лекция

Математические модели импульсных систем в виде разностных уравнений и структурных схем.

Математические основы теории импульсных систем.

4.1 Математические основы теории импульсных систем.

Приведем основные положения, рассмотренные на предыдущей лекции.

Запишем основные формулы, применяемые при исследовании

непрерывных САУ:

Преобразование Лапласа



; (1)

; (прямое)

; (2)

. (обратное)

дискретных САУ:

а) Дискретное преобразование Лапласа (D-преобразование)

- оригинал (решетчатая функция)

- изображение

(3)

q=st=+j - комплексная переменная

- смещенная решетчатая функция

(4)

(5)

(5) – D-преобразование для смещенной решетчатой функции.

Примечание:

В зависимости от ряды (3), (5) могут быть как сходящимися, так и расходящимися.

Теорема: Ряд 3 сходится абсолютно в каждой точке переходного процесса , равномерно в переходном процессе и расходится в переходном процессе .

Пример 1.

Дано:

Функция

Найти:

Определить D – преобразование функции

Решение:

Это геометрическая прогрессия (r - знаменатель)

Сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем

;

б) Z – преобразование. (Принципиальной разницы между D-преобразованием и Z – преобразованием не существует.)

Вводится новая переменная ,

Если известно изображение некоторой решетчатой функции, то соответствующее изображение может быть найдено с помощью замены комплексной переменной q на q=lnZ.

аналогично

т.о. принципиальной разницы между D-преобразованием и Z – преобразованием не существует.

Непосредственно из определения D-преобразования по формуле

(*)

следует, что функция является периодической вдоль мнимой оси плоскости q c периодом 2.

Действительно

(**)

где r – любое целое число. Поэтому достаточно получить свойства функции в любой полосе шириной 2. Наиболее удобна для этой цели полоса , симметричная относительно действительной оси плоскости q. Она называется основной полосой (рис.1).

Im Im

Re Re

Рис.1 Рис.2

Связь между областями определения D-преобразования (в плоскости комплексного переменного q) и Z – преобразования (в плоскости комплексного переменного Z).

Преобразование переводит основную полосу плоскости q на всю расширенную плоскость комплексной переменной Z. При этом отрезок мнимой оси отображается в окружность единичного радиуса (). Левая полуполоса Re q<0 плоскости q отображается во внутренность единичного круга /Z/<1 плоскости Z, а правая полуполоса Re q>0 – во внешность этого круга (рис.2).

Связь между преобразованием Лапласа и D-преобразованием осуществляется с помощью - преобразования. - преобразование позволяет определить изображение решетчатой функции по заданному изображению по Лапласу функции .

В ТАУ -преобразование позволяет установить связь между свойствами непрерывных и импульсных систем.

Пусть (безразмерное время), ,

Преобразование Лапласа для функции запишем в виде

( - безразмерный аргумент)

где .

Таким образом

Обозначим , тогда справедливы следующие равенства:

;

Это формулы и обозначения для прямого и обратного - преобразования.

Теоремы для выполнения Z – преобразований (аналогично с непрерывными функциями).

Теорема линейности.

Теорема сдвига. (Смещения аргумента в области оригиналов на целое число периодов повторения)

4.2 Модель импульсной системы в виде структурной схемы.

Дискретная передаточная функция – отношение изображений выходной и входной величины при нулевых начальных условиях.

Другой способ определения дискретной передаточной функции изложен ниже. Этапы:

Аппарат D - и Z – преобразований позволяет использовать частотные методы для анализа импульсных систем.

Примечание:

При исследовании импульсных систем часто бывает удобно пользоваться нормированными выражениями, в которых аргумент - безразмерный. Время измеряется в долях периода повторения Т: .

При этом период становится равным единице, а длительность импульса – равной скважности. Решетчатая функция, соответствующая непрерывной функции , будет , а смещенная решетчатая функция - .

Чтобы перейти от обычных изображений Лапласа к нормированным, надо заменить S на q/T и разделить передаточную функцию на Т. Если - ненормированное Z – преобразование, то нормированное преобразование можно получить, заменив Т на единицу.

По аналогии с определениями теории непрерывных систем функции

называются передаточными функциями разомкнутой импульсной системы.

Выражения ПФ импульсных систем аналогичны выражениям дробно-рациональных функций аргумента в изображении решений разностных уравнений Линейные импульсные системы с линейной непрерывной частью могут быть описаны уравнениями в конечных разностях в дискретные моменты времени n=0, 1, 2, … .

Основные свойства передаточных функций импульсных систем.

ПФ импульсной системы является функцией аргумента . Т.к. то есть периодическая функция с периодом 2. В качестве основной определяющей полосы обычно выбирают полосу (основная полоса). Все корни полинома знаменателя, лежащие внутри этой полосы, называются основными корнями.
ПФ имеет бесчисленное множество значений, соответствующих различным значениям параметра .
Для импульсов с паузами значения ПФ для интервалов действия отличаются от значений их для пауз.

4.3 Математические модели импульсных систем в виде системы разностных уравнений.

Рассмотрим дискретное время, заменим производную конечной разностью

(1)

запишем (1) в виде рекуррентного соотношения

(2)

(3)

(4)

Соотношение (3) – разностное уравнение, описывающее импульсную систему.

Запишем Z – преобразование для нулевых начальных условий.

(5)

- передаточная функция

(6)

Характеристическое уравнение импульсной системы:

Для непрерывных

Для импульсных

Для исследования импульсных систем могут быть использованы методы теории линейных непрерывных систем. Для этого необходимо выполнить конформное отображение плоскости комплексного переменного Z на плоскость комплексного переменного W т.о., чтобы единичная окружность перешла в мнимую ось на плоскости комплексного переменного W, а внутренность единичного круга отобразилась на левую полуплоскость Re W<0 (см.рис.1 предыдущей лекции).