Решение.

Контур L : – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом . D – область внутри окружности (рис. 36).

Найдем особые точки подынтегральной функции , т.е. точки, где знаменатель обращается в нуль: , особые точки.

Данные точки не лежат внутри контура интегрирования L (рис. 35), т.е. , следовательно, по теореме Коши (формула 19 или по правилу 1 замечания),

Пример . Вычислить интеграл по заданному контуру: .

Решение.

– уравнение окружности с центром в точке z = i и радиусом 1. D₁ – область внутри окружности (рис. 37). , особые точки подынтегральной функции (нашли в примере 1). Из них точка , точка .

Поэтому рассмотрим многосвязную область D, ограниченную окружностью и внутренним контуром (рис. 38).

Тогда в этой области функция аналитическая, и по следствию 1 (теореме Коши для многосвязной области (формула (21^/)) можем записать, что , т.е. = .

Данный интеграл вычислим при помощи интегральной формулы Коши : . Для этого выделим в знаменателе особую точку: =(k = 0, ) = =

Замечание. Данный пример можно решить, используя следствие к теореме 12, не выделяя внутреннюю область, ограниченную контуром l или по правилу 2 замечания.

Пример . Вычислить интеграл по заданному контуру: .

Решение.

– уравнение окружности с центром в точке z = i и радиусом 3. D₁ – область внутри окружности (рис. 39).

, особые точки функции (нашли в примере 1). Они обе лежат внутри контура. Поэтому рассмотрим многосвязную область D, ограниченную окружностью и двумя внутренними контурами и (рис. 40).

Тогда в этой области функция аналитическая, и по следствию 1 (теореме Коши для многосвязной области (формула (21^/)) можем записать, что , т.е.

= = (выделим в знаменателях особые точки) = =+= .

Пример . Вычислить интеграл по заданному контуру: .

Решение.

– уравнение окружности с центром в точке z = –i и радиусом 2. D₁ – область внутри окружности (рис. 41).

Найдем особые точки: , – особые точки, причем имеет кратность равную 2.

Знаменатель обращается в нуль внутри контура в особой точке вторая особая точка . Тогда в области D функция аналитическая, за исключением нуля, и по следствию к теореме 12 или правилу 3 замечанию к нему, можем записать, что

=(k = 1, ) =

= .