П. 2. Вычисление и свойства

, где отсюда тогда интегральная сумма запишется в виде: .

Перейдем к пределу при и получим формулу для вычисления интеграла:

. ( )

В результате получили полную аналогию между криволинейными интегралами 2-го рода и интегралами от ФКП. Т.о. вычисление интеграла от ФКП сводится к вычислению двух криволинейных интегралов.

Свойства

1.

2.

3.

4. ,

5.

6. Если – аналитическая функция, то интеграл не зависит от пути интегрирования l.

Замечание. Если дуга l задана параметрическим уравнением , где , то . Если дуга – окружность с центром в начале координат или часть окружности, то удобнее представить ее уравнение в виде .

Пример . Вычислить , где l – верхняя полуокружность с обходом против часовой стрелки (рис. 30).

Решение.

, тогда , .

, тогда .

Подставим в формулу (18) для вычисления интеграла.

.

Если в примере окружность задать параметрическим уравнением: , где , а , то интеграл преобразуется к виду:

.

Замечание. При интегрировании многозначной функции необходимо выделять ее однозначную ветвь. Это достигается обычно заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования.

Пример . Вычислить по заданному контуру , где одно из значений корня .

Решение.

– многозначная функция. Представим ее в показательной форме: .

В условии задачи рассматривается , причем , следовательно, , тогда имеем, что , где (*)

Для интегрирования необходимо выделить однозначную ветвь заданной функции , т.е. найти значение k. Для этого применим заданное значение многозначной функции в точке z = 1: (**)

Найдем значение корня в тригонометрической форме: .

следовательно, . Тогда получим, что (***) .

Сравним (**) и (***):

условию (**) удовлетворяет та однозначная ветвь функции, для которой k = 1. Подставим k = 1 в (*):

.

Запишем переменную z в показательной форме: , а так как по условию , то . Найдем дифференциал dz: .

Пределы интегрирования даны в условии задачи: .

Подставим найденные , z, dz в исходный интеграл:

.

П. 3. Теорема Коши. Интегральная формула Коши

Теорема Коши. Если функция однозначная аналитическая функция в односвязной области D, ограниченной контуром L и l – замкнутый контур в области D (рис. 31), то

( )

Если, дополнительно, функция – непрерывна в замкнутой области , то

( )

Следствия из теоремы Коши

Следствие 1. Теорема 11 (теорема Коши для многосвязной области).

Если функция аналитическая в многосвязной области D, ограниченной контуром L и внутренними по отношению к нему контурами l₁, l₂,…, l_k и непрерывна в замкнутой области (рис. 32), где знаки в верхних индексах означают направления обходов, то

или . ( )

или , (рис. 33). ( )

Следствие 2. Интегралы от аналитических функций вдоль любых двух кусочно-гладких кривых с общим началом z₀ и концом z₁ равны.

, если замкнутый контур (рис. 34).

Следствие 3. Интеграл от аналитической функции, заданной в односвязной области D, зависит только от начальной и конечной точек пути интегрирования:

Следствие 4. Интеграл при фиксированном z₀ является функцией верхнего предела: Ф(z), где Ф(z) является аналитической в области D и Ф^/(z) = f(z).

Следствие 5. Если – аналитическая функция в односвязной области D, то Ф(z) называется первообразной или неопределенным интегралом от функции , причем если F(z) – одна из первообразных для , то . ( )

Теорема (интегральная формула Коши).

Значение функции , аналитической в односвязной области D, в особой точке определяется ее значениями на любом замкнутом кусочно-гладком контуре l, охватывающем точку z₀ , целиком лежащем вместе со своей внутренностью в области D (рис. 35), и вычисляется по формуле:

.

При этом функция имеет всюду в D производные любого порядка, для которых справедливы формулы:

k =1,2,… ( )

(без доказательства)

Замечание 1. Из формулы (23) можно найти значение криволинейного интеграла вида:

, ( )

где z₀ – особая точка функции , лежащая внутри контура l.

Замечание 2.

Следствие из теоремы . Если функция аналитическая в замкнутой односвязной области , где L – граница области D, , то имеет место формула:

(без доказательства)

Замечание. При вычислении интеграла вида , где аналитическая функция в односвязной области , – многочлен, не имеющий нулей на контуре L, удобно пользоваться правилами:

1) если в области D нет нулей многочлена , тогда ;

2) если в области D расположен один простой нуль z = z₀ многочлена , тогда , где f(z) – аналитическая функция в области ;

3) если в области D расположен один кратный нуль z = z₀ многочлена кратности k, тогда , где f(z) – аналитическая функция в области ;

4) если в области D расположено два нуля z = z₁, z = z₂ многочлена , тогда, по формуле (21), , где l₁ и l₂ – границы непересекающихся окрестностей точек z = z₁, z = z₂.

Теорема теорема Лиувилля.

Если функция аналитическая и ограниченная во всей плоскости Гаусса, то .

(без доказательства)

Пример . Вычислить интеграл по заданному контуру: , где : .