Лекция №8
КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Задачи синтеза алгоритмов оптимального управления объектами в динамике при выбранном функционале критерия качества имеют дополнительные (условные) ограничения в виде уравнений математической модели динамики объекта. Экстремум функционала, определяемый при дополнительных условиях (функциональных ограничениях), называют условным экстремумом. Задачи на условный экстремум при определении оптимальных управлений объектом в динамике обусловлены тем, что функции xi(t) и ul(t), входящие в функционал J, не могут варьироваться независимо, так как они связаны уравнением динамики объекта. Траектория выхода у(t) является следствием изменения координаты управления и зависит от вида дифференциального уравнения объекта.
Задача об оптимизации объекта управления в динамике, решаемая классическим вариационным исчислением, имеет следующую формулировку. Задана математическая модель объекта в форме уравнений состояния, представленная при одной координате управления векторным уравнением
. (3.64)
Требуется определить оптимальное управлением0 (/), обеспечивающее минимум функционала
, (3.65)
в котором X и u связаны уравнениями состояния (3.64), а функция F(...) является непрерывной по всем переменным и имеет непрерывные частные производные первых двух порядков. Функции xi(t) и u(t) должны быть непрерывными и иметь непрерывные первые производные (i = 1, 2, ..., n). Векторы X0 и Хк фиксированы.
Первые задачи на
условный экстремум были поставлены и
решены основоположниками классического
вариационного исчисления Бернулли,
Эйлером и Лагранжем. Задачу, определяемую
дифференциальными связями типа (3.64) и
функционалом (3.65), называют общей задачей
Лагранжа. Если функционал характеризует
конечное состояние J
= G[X(tк),
u(tк),
tк],
то имеем задачу Майера, а если
– задачу Больца. Для решения общей
задачи Лагранжа используют метод
множителей Лагранжа.
При решении задачи на условный экстремум рассматривают вспомогательный функционал
, (3.66)
где т = [1, 2,..., n] – строка множителей Лагранжа;
. (3.67)
Функцию
называют функцией Лагранжа, а функцию
– функцией связей, которая определяется
исходными уравнениями (3.64):
, (3.68)
или
Задачу на безусловный экстремум решают для вспомогательного функционала (3.66). Уравнения Эйлера при этом составляют для функции Лагранжа (i = 1, 2, ..., n):
(3.69)
Эти уравнения называют уравнениями Эйлера – Лагранжа; они характеризуют условие стационарности функционала (3.66). В результате решения уравнений (3.69) с учетом уравнений (3.64) получим оптимальное управление u0(t) объектом в динамике.
Уравнения (3.64) и (3.69) являются уравнениями вариационной задачи, порядок которых после исключения координаты управления равен 2n. При решении этих уравнений относительно векторов X и для заданных X(t0) и X(tк) рассматривается двухточечная краевая задача. Сложность решения ее обусловлена тем, что начальные значения множителей Лагранжа i(t0) неизвестны. Чтобы удовлетворить заданным значениям векторов состояния X(t0) и X(tк), приходится многократно решать уравнения вариационной задачи, задаваясь различными начальными значениями i(t0).
При определении
оптимального управления классическим
методом вариационного исчисления
уравнения вариационной задачи могут
быть записаны в гамильтоновой или
канонической форме. Пусть функционал
в частном случае зависит от переменных
х1(t)
и х2(t),
а также их производных
и
:
. (3.70)
Запишем для него уравнения Эйлера типа (3.60):
(3.71)
От переменных х1 и х2 перейдем к новым переменным р1 и р2 согласно выражениям
, (3.72)
а от функции F – к новой функции
,
В общем случае, при n переменных выражение для функции Н запишем в векторной форме:
, (3.73)
где функцию Н называют функцией Гамильтона, а переменные pi – каноническими переменными.
Дифференцируя (3.73), получаем
. (3.74)
На основании уравнений Эйлера и (3.72) запишем
,
При этом вместо (3.74) получим новую систему дифференциальных уравнений, которые называют каноническими уравнениями Гамильтона:
(3.75)