лекции / Лекция1 / Лекция 3

Лекция №3

КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Важным моментом при разработке оптимальных систем является формулировка цели оптимизации, которая математически выражается как требование обеспечения минимума или максимума некоторого показателя качества, называемого критерием оптимальности или целевой функцией.

В качестве критерия оптимальности могут быть приняты различные технические и технико-экономические показатели и оценки. Например, он может отражать технико-экономическую выгоду (производительность, КПД, прибыль и т. п.), при этом оптимальное управление должно обеспечивать максимум критерия оптимальности; он может выражать также потери (расход энергии, топлива, средств и т. п.), в этом случае оптимальное управление должно обеспечивать его минимум.

Задача оптимального управления системами состоит в достижении экстремального значения показателя эффективности (критерия качества), который выступает в этом случае в роли целевой функции оптимального управления.

Задача математического описания целевой функции оптимального управления состоит в формализации требований, предъявляемых к системе управления, т. е. в выражении их в терминах логики и математики.

Основными критериями качества автоматических систем являются: стоимость разработки, изготовления и эксплуатации систем; качество функционирования; надежность; потребляемая энергия; масса; объем и т. п. Каждый из этих частных критериев является некоторой функцией нескольких переменных, характеризующих систему в целом.

Функция цели оптимального управления должна быть представлена в форме, допускающей использование какого-либо известного метода синтеза оптимальных систем. При разработке простейших локальных систем управления обычно рассматривают задачу оптимизации по критериям, характеризующим качество функционирования системы (точность и быстродействие), а остальные частные критерии не учитывают.

В зависимости от конкретных условий функционирования систем обычно рассматривают две задачи оптимизации режимов: статических и динамических. Задача динамической оптимизации характерна для подсистем нижнего уровня, статической – для верхних уровней управления.

В теории автоматического управления широко распространены функционалы, характеризующие качество функционирования системы. В общем случае функционал зависит от фазовых координат x_i(t), где t =1, 2, ..., n; координат управления u_l(t), где l =1, 2, ..., r; и возмущающих воздействий f_вj(t), где j = 1, 2, ..., k, и может быть представлен как

(1.1)

где [t₀, t_k] – рассматриваемый интервал времени; F(...) – функция, отражающая показатель качества; X, u, f_в(t) – векторы фазовых координат, управлений и возмущений соответственно.

Достижение максимального (или минимального) значения этого функционала указывает на оптимальное поведение или состояние системы.

Критерии типа (1.1) называют скалярными, если они представляют только один частный критерий из совокупности всех критериев, характеризующих качество автоматических систем.

В качестве критерия оптимальности может быть принято время переходного процесса:

. (1.2)

Полученная при этом система является оптимальной по быстродействию, если обеспечивается минимум интеграла (1.2) с учетом ограничений координат.

В качестве критерия оптимальности могут быть применены известные в теории автоматического управления интегральные оценки качества переходного процесса. При использовании, например, квадратичной интегральной оценки система будет оптимальной, если обеспечивается минимум интеграла

, (1.3)

где (t) = y_з – y(t) – отклонение выходной переменной у(t) от заданного значения у_з.

Полученная при этом система является оптимальной по точности в динамических режимах при отработке ненулевых начальных условий или единичном задающем воздействии.

Критерий оптимальности (1.3) может быть использован для оценки качества адаптации системы в условиях неопределенности и построения адаптивного управляющего устройства.

В качестве критериев оптимальности автоматических систем при случайных сигналах может быть использовано среднее значение квадрата ошибки системы ² или среднее значение квадрата выходной координаты у²:

(1.4)

, (1.5)

где (t) и у(t) – случайные процессы ошибки и выходной координаты.

Полученная при этом система является оптимальной по точности в статистическом смысле, если обеспечивается минимум интегралов (1.4) или (1.5).

При оптимизации статики и установившихся режимов многомерных объектов обычно ставится задача получения минимума или максимума функций многих переменных, характеризующей качество в статических или установившихся режимах работы объекта:

J = Q(x₁,x2, …, x_n), (1.12)

где Q(...) – функция, характеризующая показатель качества; x_i – переменные, определяющие режим работы объекта.

Полученная при этом система является оптимальной в установившихся или статических режимах. В частном случае функция Q(X) может быть нелинейной статической характеристикой многомерного объекта.

Если скорость протекания технологического процесса такова, что критерий оптимальности типа (1.12) нельзя считать неизменным во времени, то необходимо оптимизировать технологический процесс в динамике, используя функционал, например, вида

. (1.17)

Наряду с указанными критериями оптимальности технологических процессов и технических устройств можно указать конструктивные оценки, позволяющие сравнивать показатели различных технических устройств и СУ ТП. Конструктивные оценки (один из частных критериев) базируются на тех данных, которые могут быть получены из конструкторских расчетов, характеристик элементов, анализа каталожных материалов и характеристик элементов, а также из уравнений, описывающих движение системы при исследованиях на моделях, и т. п.

В тех случаях, когда необходимо обеспечить наилучшую работу системы в наихудших возможных условиях, применяют критерий оптимальности, называемый минимаксным.

Встречаются также типы задач по определению оптимальных решений, когда имеются две стороны, интересы которых противоположны и каждая сторона стремится получить максимальную выгоду для себя. Эти задачи являются предметом теории дифференциальных игр. Формирование критерия оптимальности, определяющего цель оптимизации, – это инженерная и инженерно-экономическая задача, которая решается на основе глубокого и всестороннего изучения управляемого объекта.