23. Робота сили. Потенційна енергія матеріальної крапки в словом поле.

Робота постійної сили на прямолінійному переміщенні, створюючому з напрямом сили кут би, визначається формулою_

При змінній силі і русі по кривій таке визначення роботи непридатне. До загального визначення роботи (для змінної сили і довільного руху) приходимо звичайним способом: застосовуємо математичний аналіз.

Хай траєкторією матеріальної крапки служить крива АВ (мал. 11.1). Розбиваємо відрізок кривої між крапками (1) і (2) на нескінченно малі елементи, які можна розглядати як прямолінійні. Хай — вектор нескінченно малого переміщення і — вектор сили для даного положення крапки на кривій. Тоді остання формула може бути застосована для обчислення роботи сили на нескінченно малому переміщенні. Враховуючи це, отримаємо для елементарної роботи:_

(11.1)

У загальному випадку лінійна функція диференціалів координат в (МУЛ) не є повним диференціалом якої-небудь функції координат. Щоб відзначити цю обставину в позначенні елементарної роботи, застосована буква ._

Для визначення роботи на кінцевій ділянці кривої АВ потрібно підсумувати елементарні роботи. Таким чином, сума алгебри елементарних робіт на всіх елементах дуги кривої АВ між вказаними точками кривої (1) і (2) є робота сили на кінцевій ділянці траєкторії:

Коротко роботу сили можна визначити як інтеграл від сили, узятий уздовж траєкторії руху крапки. (У математиці такі інтеграли називаються криволінійними.)

Для обчислення роботи сили в загальному випадку необхідно знати кінематичні рівняння руху крапки. Тоді криволінійний інтеграл в (11.2) може бути зведений до певного інтеграла.

Действительно, пусть — кинематические уравнения движения (тогда и т. д.) и проекции силы после внесения в них значений координат и производ­ных координат по времени будут известными функциями времени. Таким образом, элементарная работа будет иметь вид:

де — відома функція часу. Далі з рівнянь руху визначаємо моменти часу і відповідні знаходженню крапки в положеннях (1) і (2). Це дасть нам межі інтеграції по . Остаточно маємо:_

тобто робота обчислюється як певний інтеграл від функції часу.

24. Потенційні сили. Потенційна енергія матеріальної точки в силовому полі. Потенційними силами називаються сили, не залежні від швидкості руху крапки

(11.3)

і що задовольняють умові

(11.4)

Тут U — скалярна функція, звана потенційною енергією і також не залежна від швидкості, тобто

(11.5)

Умова потенційності сили (11.4) іноді виявляється незручною для практичного застосування, оскільки потрібне знання потенційної енергії, яку часто слід знаходити. Тому воно замінюється наступною еквівалентною умовою:

(11.6)

бо для будь-якої функції._

Умова (11.4) в проекціях на осі декартової системи координат виражається трьома рівністю:

а умова (11.6) приводиться до вигляду

Остання рівність не містить потенційної енергії, і для перевірки потенційності сили досить переконатися в справедливості будь-яких два з них. Відмітимо, що умови потенційності тривіально виконуються для силового поля, проекції сил в якому не залежать від координат, тобто однорідне поле потенційне.

Слід розрізняти стаціонарну і нестаціонарну сили. Стаціонарна явно від часу не залежить, і їй відповідає стаціонарне поле, що задається функціями:

(11.7)

Нестаціонарною потенційною силою називається сила, яка явно залежить від часу, і потенційне поле є нестаціонарним; воно описується загальною формулою (11.5).

Розглянемо спочатку, як обчислюється робота і потенційна енергія в стаціонарному полі (11.7). Знайдемо елементарну роботу потенційної сили:

В цьому випадку

(11.8)

(11.9)

З формули (11.9) видно, що робота не залежить від форми траєкторії і визначається різницею потенційних енергій на початку і кінці відрізання траєкторії.

Потенційна енергія в будь-якій точці поля виражається за допомогою невизначеного інтеграла:

(11.10)

і завжди обчислюється з точністю до довільної постійної З, якою можна надати будь-яке значення (якщо можливо, то найзручніше нуль). Вибір постійної З — початковій енергії — носить назву нормування (калібрування) потенційної енергії. Можливість довільного вибору початку відліку для V пояснюється тим, що величина потенційної енергії безпосередньо не вимірюється; вимірюється тільки робота, рівна різниці енергій.

19. Поняття в’язі. При аналізі поняття механічної сили був розглянутий випадок, в якому дія на матеріальну точку решти всіх точок системи описана як сила, що є функцією координат, швидкості і часу. В цьому випадку точку прийнято називати вільною. У механіці не враховують конструктивні особливості в’язі і класифікують їх по вигляду аналітичних виразів, якими вони задаються. Поверхня, як відомо з геометрії, задається рівнянням

Якщо в’язь задана цим рівнянням, то це означає, що точка може рухатися тільки по поверхні. Така в’язь називається такою, що утримує.

Якщо ж в’язь задана рівністю-нерівністю те матеріальна точка може рухатися в області простору, обмеженою вказаною в (7.1) поверхнею. В цьому випадку в’язь називається такою, що не утримує. Наприклад, твердий стрижень завдовжки закріплений одним кінцем на початку координат за допомогою кульового шарніра, а на другому кінці має ту, що розглядається нами рухому точку. Рух останньою буде обмежено утримуючим в’яззю ._

Найбільш простими в’язями є голономні. Це в’язі, що задаються рівняннями (7.1) алгебри або диференціальними рівняннями, які після інтеграції зводяться до тих же рівнянь (7.1). У свою чергу голономні в’язі підрозділяються на стаціонарних і нестаціонарних. В’язь здійснюється нерухомою поверхнею, що не змінює своєї форми. Рівняння задає голономний нестаціонарний в’язь і здійснюється рухомою або такою, що деформується поверхнею. Як видимий, голономні в’язі залежать тільки від координат і не залежать від похідних координат.

Всі остальні в’язі, рівняння яких задаються диференціальними неінтегрованими рівняннями, називаються неголономними. Найбільш складна в’язь задається рівнянням

тобто є неголономною, нестаціонарною і такою, що не утримує. Загальний же вид рівнянь в’язі, з якими ми зустрінемося далі, такий:

— це голономні, утримуючі, стаціонарні і нестаціонарні в’язі.

Задані сили і сили реакції. Завдання про рух скованої матеріальної точки в порівнянні з вільною видозмінюється таким чином: рух точки обмежений в’язями і на неї (незалежно від в’язі) діють відомі сили, вони називаються заданими силами. Потрібно відшукати кінематичні рівняння руху. За своєю природою, як вже про це мовилося, дія в’язі зводиться до сил, прикладених до рухомої точки. Тому при відомих рівняннях зв'язку виявляється можливим підібрати таку додаткову до заданих силу, яка впливає на рух точки так само, як і в’язь. Це положення носить назва принципу освобождаемости від в’язі. Додаткові сили, замінюючі в’язі, називаються реакціями в’язі. Фізично реакції в’язі мають однакову природу із звичайними силами.

Якщо в’язь замінити відповідною силою реакції, точка може розглядатися як вільна і для неї буде справедливе основне рівняння динаміки (6.1):

. (7.4)

Якщо заданих сил немає і точка покоїться, то накладення в’язі не може повідомити їй прискорення. Таким чином, сили реакції в’язі є пасивними силами; вони діють за наявності руху або заданих сил, інакше не існують. Задані сили можна з цієї ж причини назвати активними.

Познайомимося з найзагальнішими властивостями сил реакції. Якщо точка при накладеному зв'язку рухається по заданій нерухомій поверхні, то силу реакції завжди можна розкласти на дві складові; перша направлена по дотичній до траєкторії; вона називається силою тертя, друга — по нормалі до поверхні, називається нормальною реакцією. Отже_

Сила тертя завжди направлена протилежно швидкості руху точки._

За законом Кулона для сухого тертя сила тертя пропорційна нормальній реакції:

(7.5)

Коефіцієнт пропорційності до називається коефіцієнтом тертя.